Kezdőlap


Feladat:	1414. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1972/október, 71 - 72. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/április: 1414. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elég azt megmutatnunk, hogy az adott kifejezés egyenlő az $x$ , $y$ , $z$ változók egy $P$ polinomjának a négyzetével: $K = P^{2}$ , más szóval, hogy a $P$ alap előállítható $x$ , $y$ , $z$ -ből és állandó egész számokból összeadás és szorzás útján.
$K$ szimmetrikus függvénye a három változónak. Ezen azt értjük, hogy bármelyik két betűt fölcserélve, $K$ értéke változatlan marad. Ezt várjuk $P$ -re is. Ennek megmutatását egyszerűbbé teszi, ha $K$ -t kifejezzük $x$ , $y$ és $z$ ún. elemi szimmetrikus függvényeivel ‐ amelyekben mind a három változó csak az első hatványon szerepel. Ez a következő három:

\begin{matrix} x + y + z = s_{1}, x y + y z + z x = s_{2}, x y z = s_{3} \end{matrix}

(az

s

melletti index a fokszámot jelöli). Valahányszor

x

y

és

z

egészek, mindannyiszor

s_{1}

s_{2}

és

s_{3}

is egészek. Ezekkel

\begin{matrix} x^{2} & + y^{2} + z^{2} = {(x + y + z)}^{2} - 2 (x y + y z + z x) = s_{1}^{2} - 2 s_{2}, \\ x^{3} & + y^{3} + z^{3} = (x + y + z) (x^{2} + y^{2} + z^{2}) - (x^{2} y + x^{2} z + y^{2} z + y^{2} x + z^{2} x + z^{2} y) = \\ = s_{1} (s_{1}^{2} - 2 s_{2}) - {(x + y + z) (x y + y z + z x) - 3 x y z} = \\ = s_{1}^{3} - 2 s_{1} s_{2} - {s_{1} s_{2} - 3 s_{3}} = s_{1}^{3} - 3 s_{1} s_{2} + 3 s_{3}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} K = 9 {(s_{1}^{2} - 2 s_{2})}^{2} - 8 s_{1} (s_{1}^{3} - 3 s_{1} s_{2}) = s_{1}^{4} - 12 s_{1}^{2} s_{2} + 36 s_{2}^{2} = {(s_{1}^{2} - 6 s_{2})}^{2}, \end{matrix}

és itt

P = s_{1}^{2} - 6 s_{2}

a föltevés szerint egész szám. Ezt akartuk bizonyítani.
A négyzetszám alapja így is írható:

\begin{matrix} P = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 (x y + y z + z x) . \end{matrix}