Feladat: 1414. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1972/október, 71 - 72. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szorzat, hatványozás azonosságai, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1972/április: 1414. matematika gyakorlat

Bizonyítsuk be, hogy akármilyen egész számokat írunk az alábbi kifejezésben x, y és z helyére, mindig négyzetszámot kapunk.
9(x2+y2+z2)2-8(x+y+z)(x3+y3+z3-3xyz).(1)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elég azt megmutatnunk, hogy az adott kifejezés egyenlő az x, y, z változók egy P polinomjának a négyzetével: K=P2, más szóval, hogy a P alap előállítható x, y, z-ből és állandó egész számokból összeadás és szorzás útján.
K szimmetrikus függvénye a három változónak. Ezen azt értjük, hogy bármelyik két betűt fölcserélve, K értéke változatlan marad. Ezt várjuk P-re is. Ennek megmutatását egyszerűbbé teszi, ha K-t kifejezzük x, y és z ún. elemi szimmetrikus függvényeivel ‐ amelyekben mind a három változó csak az első hatványon szerepel. Ez a következő három:

x+y+z=s1,xy+yz+zx=s2,xyz=s3
(az s melletti index a fokszámot jelöli). Valahányszor x, y és z egészek, mindannyiszor s1, s2 és s3 is egészek. Ezekkel
x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+yz+zx)=s12-2s2,x3+y3+z3=(x+y+z)(x2+y2+z2)-(x2y+x2z+y2z+y2x+z2x+z2y)==s1(s12-2s2)-{(x+y+z)(xy+yz+zx)-3xyz}==s13-2s1s2-{s1s2-3s3}=s13-3s1s2+3s3,
tehát
K=9(s12-2s2)2-8s1(s13-3s1s2)=s14-12s12s2+36s22=(s12-6s2)2,
és itt P=s12-6s2 a föltevés szerint egész szám. Ezt akartuk bizonyítani.
A négyzetszám alapja így is írható:
P=x2+y2+z2-4(xy+yz+zx).