Feladat:	1406. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ábrahám T. ,  Bartha S. ,  Beck L. ,  Borbély A. ,  Fazekas László ,  Fodor Eszter ,  Fukker B. ,  Fördős J. A. ,  Handbauer R. ,  Hidvégi A. ,  Illés G. ,  Jakab T. ,  Kis Piroska ,  Kiss János ,  Kóczy Annamária ,  Kollár J. ,  Kópiás G. ,  Kovács Sándor ,  Kovács Zoltán ,  Lattmann T. ,  Lóska A. ,  Lukács Éva ,  Margaritisz T. ,  Matolcsy Kálmán ,  Megyesi Gy. ,  Molnár György ,  Mónus Ildikó ,  Nagy Csaba ,  Nagy János ,  Németh György ,  Németh József ,  Páles Zs. ,  Pender G. ,  Perge L. ,  Prőhle P. ,  Rapp F. ,  Romhányi erzsébet ,  Sapsál Anna ,  Schvarcz T. ,  Sipos I. ,  Sliz M. ,  Sparing L. ,  Surján P. ,  Szabó Zoltán ,  Szecsői S. ,  Szökő Éva ,  Takács Tamás ,  Vecsernyés P. ,  Wettstein J. ,  Zákányi Ildikó
Füzet:	1972/november, 150 - 152. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Beírt alakzatok, Derékszögű háromszögek geometriája, Numerikus és grafikus módszerek, Síkgeometriai szerkesztések, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/február: 1406. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   a) Az $OAB$ háromszögben $B$-nél derékszög van, ezért az $OBC$, $BCD$, $CDE$ háromszögek mindegyike fele egy egyenlő oldalú háromszögnek. Így $\begin{array}{c}{\displaystyle DE=\frac{\sqrt[]{3}}{2}CD={\left(\frac{\sqrt[]{3}}{2}\right)}^{2}BC={\left(\frac{\sqrt[]{3}}{2}\right)}^{3}OB=\frac{3\sqrt[]{3}}{16}\cdot OA\mathrm{.}}\end{array}$ Eszerint az $A$ körüli, $DE$ sugarú körív és $k$ metszéspontját $G$-vel jelölve az $AOG\sphericalangle =\alpha$ szögre $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}\frac{\alpha }{2}=\frac{AG/2}{OA}=\frac{DE}{2OA}=\frac{3\sqrt[]{3}}{32}=0\mathrm{,}16238}\end{array}$ (5 tizedesre, hiszen $\sqrt[]{3}$ tetszőleges pontossággal megközelíthető), és így $\alpha /2=9^{\circ }20\mathrm{,}6\text{'}$. A húr 19-szeri fölmérése után a kezdő sugár ennek 38-szorosával, ${355}^{\circ }3\text{'}$-cel fordul el, így a köztük levő hegyesszög $\beta =4^{\circ }57\text{'}$. b) Az $\alpha /2$ szögnek $9^{\circ }20\text{'}$ fölötti töredékét a $\begin{array}{c}{\displaystyle \delta =\frac{0\mathrm{,}16238-\text{sin}{9}^{\circ }20\text{'}}{\text{sin}{9}^{\circ }30\text{'}-\text{sin}{9}^{\circ }20\text{'}}}\end{array}$ hányadosból számítottuk. A táblázat $\text{sin}{9}^{\circ }20\text{'}=0\mathrm{,}1622$ és $\text{sin}{9}^{\circ }30\text{'}=0\mathrm{,}1650$ adatai azonban 4 tizedesre kerekítettek, vagyis 5 tizedesre $0\mathrm{,}16215\leqq \text{sin}{9}^{\circ }20\text{'}\leqq 0\mathrm{,}16225$ ill. $0\mathrm{,}16495\leqq \text{sin}{9}^{\circ }30\text{'}\leqq 0\mathrm{,}16505$. Ha csak ezeket tekintjük, akkor $\delta$ számlálója úgy adódnék legnagyobbnak, ha $\text{sin}{9}^{\circ }20\text{'}=0\mathrm{,}16215$ lenne, így pedig a nevező $\text{sin}{9}^{\circ }30\text{'}=0\mathrm{,}16495$ esetén lenne a legkisebb, így $\begin{array}{c}{\displaystyle \delta <\frac{0\mathrm{,}00023}{0\mathrm{,}00280}<0\mathrm{,}83\text{'}\mathrm{.}}\end{array}$ $\delta$ számlálója $\text{sin}{9}^{\circ }20\text{'}=0\mathrm{,}16225$ mellett adódnék legkisebbnek és ekkor a nevező $\text{sin}{9}^{\circ }30\text{'}=0\mathrm{,}16505$ mellett lenne a legnagyobb, így $\begin{array}{c}{\displaystyle \delta >\frac{0\mathrm{,}00013}{0\mathrm{,}00280}>0\mathrm{,}46\text{'}\mathrm{.}}\end{array}$ Az $\alpha /2$ eredményre elfogadott $0\mathrm{,}6\text{'}$-nyi töredék maximális hibája eszerint nem haladhatja meg a $0\mathrm{,}83-0\mathrm{,}6=0\mathrm{,}23\text{'}$-et. A fenti $\beta$ maximális hibája pedig nem haladhatja meg ennek 38-szorosát, még kevésbé a $9\text{'}$-et. (Más kérdés volna természetesen az, hogy $\alpha ={18}^{\circ }41\mathrm{,}2\text{'}$ mennyire pontos a valódi szabályos 19-szög egy oldalához tartozó középponti szöghöz viszonyítva.)   Megjegyzések. 1. A hiba becslésénél tekintetbe vehetnők a táblázatnak a felhasználtakkal szomszédos adatait: $\text{sin}{9}^{\circ }10\text{'}=0\mathrm{,}1593$, $\text{sin}{9}^{\circ }40\text{'}=0\mathrm{,}1679$, mindkettőben $29\cdot {10}^{-4}$ a különbség a felhasznált adathoz képest, míg emezek közt $28\cdot {10}^{-4}$, tehát $9^{\circ }10\text{'}$ és $9^{\circ }40\text{'}$ közt a $10\text{'}$-re eső átlagos különbség $28\mathrm{,}7\cdot {10}^{-4}$. Ebből annyit lehet látni, hogy $0\mathrm{,}1622$ és $0\mathrm{,}1650$ kerekítése csökkentette a köztük (pontosabb táblázat szerint) mutatkozó különbséget, a két szomszédos különbség pedig növekedett a kerekítés folytán ‐ más szóval: hogy $0\mathrm{,}1622$ és $0\mathrm{,}1650$ kerekítése egymás felé sikerült. Ezzel azonban nem lehet pontosabbá tenni a táblázat adatait. (6 tizedesjegyre $\text{sin}{9}^{\circ }20\text{'}=0\mathrm{,}162178$ és $\text{sin}{9}^{\circ }30\text{'}=0\mathrm{,}165048$, az utóbbinál majdnem a lehetséges legnagyobb lekerekítés történt.) 2. Többeket $\text{cos}\alpha$ felhasználására csábított az, hogy ez az érték racionális. $G$-nek $OA$-n levő vetületét $H$-val, $k$-nak $A$-val átellenes pontját $A^{*}$-gal jelölve az $A{A}^{*}G$ derékszögű háromszögből ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle AH=\frac{A{G}^2}{A{A}^{*}}=\frac{D{E}^2}{2\cdot OA}=\frac{27}{512}\mathrm{,}\text{ és így}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{cos}\alpha =\frac{OH}{OG}=\frac{485}{512}=0\mathrm{,}94727.}\hfill \end{array}}$ Ez a táblázat $\text{cos}{18}^{\circ }40\text{'}=0\mathrm{,}9474$ és $\text{cos}{18}^{\circ }30\text{'}=0\mathrm{,}9465$ adatai közé esik. Minthogy azonban ezek különbsége csupán $9\cdot {10}^{-4}$ ‐ a cosinusfüggvény változása e hely környezetében jóval lassabb, mint a sinusfüggvény változása $9^{\circ }20\text{'}$ környezetében ‐, azért ebből számítva $\beta$-t és hibakorlátját, az utóbbira a fentinél nagyobb érték adódnék. Minden táblázatnak azok a részei nyújtanak lehetőséget kisebb hibakorlátú visszakeresésre, ahol a szomszédos adatok közti különbség abszolút értéke nagyobb, szemléletesen: amelyeknek megfelelő görbe ív meredekebb.