Feladat: 1406. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ábrahám T. ,  Bartha S. ,  Beck L. ,  Borbély A. ,  Fazekas László ,  Fodor Eszter ,  Fukker B. ,  Fördős J. A. ,  Handbauer R. ,  Hidvégi A. ,  Illés G. ,  Jakab T. ,  Kis Piroska ,  Kiss János ,  Kóczy Annamária ,  Kollár J. ,  Kópiás G. ,  Kovács Sándor ,  Kovács Zoltán ,  Lattmann T. ,  Lóska A. ,  Lukács Éva ,  Margaritisz T. ,  Matolcsy Kálmán ,  Megyesi Gy. ,  Molnár György ,  Mónus Ildikó ,  Nagy Csaba ,  Nagy János ,  Németh György ,  Németh József ,  Páles Zs. ,  Pender G. ,  Perge L. ,  Prőhle P. ,  Rapp F. ,  Romhányi erzsébet ,  Sapsál Anna ,  Schvarcz T. ,  Sipos I. ,  Sliz M. ,  Sparing L. ,  Surján P. ,  Szabó Zoltán ,  Szecsői S. ,  Szökő Éva ,  Takács Tamás ,  Vecsernyés P. ,  Wettstein J. ,  Zákányi Ildikó 
Füzet: 1972/november, 150 - 152. oldal  PDF file
Témakör(ök): Beírt alakzatok, Derékszögű háromszögek geometriája, Numerikus és grafikus módszerek, Síkgeometriai szerkesztések, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1972/február: 1406. matematika gyakorlat

Adott körbe beírt szabályos tizenkilencszög oldalára közelítő értéket (szakaszt) ad a következő eljárás. Az OA sugárhoz 60-kal hajló sugár felezőpontja B, ennek vetülete OA-ra C, ennek vetülete AB-re D és ennek vetülete OA-ra E. Ekkor az oldal közelítő értéke DE. ‐ A kapott szakaszt mint húrt a körbe egymás után 19-szer fölmérve, mekkora szöget zár be a kezdő és a végponthoz húzott sugár ? Mondjunk indokolt véleményt arról, hogy az erre a szögre kapott érték mennyire pontos.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 

a) Az OAB háromszögben B-nél derékszög van, ezért az OBC, BCD, CDE háromszögek mindegyike fele egy egyenlő oldalú háromszögnek. Így
DE=32CD=(32)2BC=(32)3OB=3316OA.

Eszerint az A körüli, DE sugarú körív és k metszéspontját G-vel jelölve az AOG=α szögre
sinα2=AG/2OA=DE2OA=3332=0,16238
(5 tizedesre, hiszen 3 tetszőleges pontossággal megközelíthető), és így α/2=920,6'. A húr 19-szeri fölmérése után a kezdő sugár ennek 38-szorosával, 3553'-cel fordul el, így a köztük levő hegyesszög β=457'.
b) Az α/2 szögnek 920' fölötti töredékét a
δ=0,16238-sin920'sin930'-sin920'
hányadosból számítottuk. A táblázat sin920'=0,1622 és sin930'=0,1650 adatai azonban 4 tizedesre kerekítettek, vagyis 5 tizedesre 0,16215sin920'0,16225 ill. 0,16495sin930'0,16505.
Ha csak ezeket tekintjük, akkor δ számlálója úgy adódnék legnagyobbnak, ha sin920'=0,16215 lenne, így pedig a nevező sin930'=0,16495 esetén lenne a legkisebb, így
δ<0,000230,00280<0,83'.

δ számlálója sin920'=0,16225 mellett adódnék legkisebbnek és ekkor a nevező sin930'=0,16505 mellett lenne a legnagyobb, így
δ>0,000130,00280>0,46'.

Az α/2 eredményre elfogadott 0,6'-nyi töredék maximális hibája eszerint nem haladhatja meg a 0,83-0,6=0,23'-et. A fenti β maximális hibája pedig nem haladhatja meg ennek 38-szorosát, még kevésbé a 9'-et.
(Más kérdés volna természetesen az, hogy α=1841,2' mennyire pontos a valódi szabályos 19-szög egy oldalához tartozó középponti szöghöz viszonyítva.)
 

Megjegyzések. 1. A hiba becslésénél tekintetbe vehetnők a táblázatnak a felhasználtakkal szomszédos adatait: sin910'=0,1593, sin940'=0,1679, mindkettőben 2910-4 a különbség a felhasznált adathoz képest, míg emezek közt 2810-4, tehát 910' és 940' közt a 10'-re eső átlagos különbség 28,710-4. Ebből annyit lehet látni, hogy 0,1622 és 0,1650 kerekítése csökkentette a köztük (pontosabb táblázat szerint) mutatkozó különbséget, a két szomszédos különbség pedig növekedett a kerekítés folytán ‐ más szóval: hogy 0,1622 és 0,1650 kerekítése egymás felé sikerült. Ezzel azonban nem lehet pontosabbá tenni a táblázat adatait. (6 tizedesjegyre sin920'=0,162178 és sin930'=0,165048, az utóbbinál majdnem a lehetséges legnagyobb lekerekítés történt.)
2. Többeket cosα felhasználására csábított az, hogy ez az érték racionális. G-nek OA-n levő vetületét H-val, k-nak A-val átellenes pontját A*-gal jelölve az AA*G derékszögű háromszögből
AH=AG2AA*=DE22OA=27512,  és ígycosα=OHOG=485512=0,94727.


Ez a táblázat cos1840'=0,9474 és cos1830'=0,9465 adatai közé esik. Minthogy azonban ezek különbsége csupán 910-4 ‐ a cosinusfüggvény változása e hely környezetében jóval lassabb, mint a sinusfüggvény változása 920' környezetében ‐, azért ebből számítva β-t és hibakorlátját, az utóbbira a fentinél nagyobb érték adódnék.
Minden táblázatnak azok a részei nyújtanak lehetőséget kisebb hibakorlátú visszakeresésre, ahol a szomszédos adatok közti különbség abszolút értéke nagyobb, szemléletesen: amelyeknek megfelelő görbe ív meredekebb.