Kezdőlap


Feladat:	1397. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1972/október, 68 - 69. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú diofantikus egyenletek, Logikai feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/január: 1397. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az első, a leghosszabb szakaszt $2 d$ -vel. Mivel szakaszok csökkenően követik egymást, és mindegyiknek a mértékszáma egész szám, ezért a következő szakasz mértékszáma legfeljebb $2 d - 1$ , a következőé $2 d - 2$ és így tovább.
Másrészt a legkisebb szakasz mértékszáma a feltétel szerint $d$ . Ebből kiindulva a következő szakasz hosszának mértékszáma legalább $d + 1$ , a következőé legalább $d + 2$ és így tovább.
A teljes $A F = 53$ km útvonal hossza alapján így a következő egyenlőtlenséget írhatjuk fel $d$ -re:

\begin{matrix} 2 d + (2 d - 1) + (2 d - 2) + (2 d - 3) + d \geq 53 \geq d + (d + 1) + (d + 2) + (d + 3) + 2 d, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} 9 d - 6 \geq 53 \geq 5 d + 6, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} 6 \frac{5}{9} \leq d \leq 7 \frac{5}{6} \end{matrix}

következik, és mivel

d

mértékszáma is egész, azért

d = E F = 7

és

A B = 14

. Mivel

E F < D E < C D < B C

egész számok, ezért

\begin{matrix} D E = 8 + a, C D = 9 + b, B C = 10 + c \end{matrix}

alakú, ahol

\begin{matrix} a \leq b \leq c \end{matrix}

(1)

nem negatív egész számok. Összeadva

\begin{matrix} B C + C D + D E = 27 + a + b + c = 32 (= A F - A B - E F), \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} a + b + c = 5. \end{matrix}

(2)

A B > B C

miatt

\begin{matrix} 10 + c \leq 13, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} c \leq 3. \end{matrix}

Az (1) és (2) feltételekből viszont

c \geq 2

, különben

a + b + c \leq 3

volna.
Ha

c = 2

, akkor

b = 2, a = 1

, vagyis

\begin{matrix} D E = 9, C D = 11, B C = 12. \end{matrix}

c = 3

, akkor

b = 2, a = 0

vagy

b = 1, a = 1

, és így

\begin{matrix} D E = 8, C D = 11, B C = 13, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} D E = 9, C D = 10, B C = 13. \end{matrix}

Mindezek szerint az útszakaszok mértékszámaira három lehetőséget találtunk.