Feladat: 1397. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1972/október, 68 - 69. oldal  PDF file
Témakör(ök): Elsőfokú diofantikus egyenletek, Logikai feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1972/január: 1397. matematika gyakorlat

A, B, C, D, E és F egy útvonalon egymás után következő városok. Az útvonal egymás után csatlakozó egyenes szakaszairól a következőket tudjuk: AB>BC>CD>DE>EF; mindegyik szakasz hossza egész szám; AB=2EF. Az útvonal hossza A-tól F-ig 53 km. Mekkorák lehetnek az egyes szakaszok?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az első, a leghosszabb szakaszt 2d-vel. Mivel szakaszok csökkenően követik egymást, és mindegyiknek a mértékszáma egész szám, ezért a következő szakasz mértékszáma legfeljebb 2d-1, a következőé 2d-2 és így tovább.
Másrészt a legkisebb szakasz mértékszáma a feltétel szerint d. Ebből kiindulva a következő szakasz hosszának mértékszáma legalább d+1, a következőé legalább d+2 és így tovább.
A teljes AF=53 km útvonal hossza alapján így a következő egyenlőtlenséget írhatjuk fel d-re:

2d+(2d-1)+(2d-2)+(2d-3)+d53d+(d+1)+(d+2)+(d+3)+2d,
azaz
9d-6535d+6,
amiből
659d756
következik, és mivel d mértékszáma is egész, azért d=EF=7 és AB=14. Mivel EF<DE<CD<BC egész számok, ezért
DE=8+a,CD=9+b,BC=10+c
alakú, ahol
abc(1)
nem negatív egész számok. Összeadva
BC+CD+DE=27+a+b+c=32(=AF-AB-EF),
ahonnan
a+b+c=5.(2)

AB>BC miatt
10+c13,
amiből
c3.

Az (1) és (2) feltételekből viszont c2, különben a+b+c3 volna.
Ha c=2, akkor b=2,a=1, vagyis
DE=9,CD=11,BC=12.

Ha c=3, akkor b=2,a=0 vagy b=1,a=1, és így
DE=8,CD=11,BC=13,
vagy
DE=9,CD=10,BC=13.

Mindezek szerint az útszakaszok mértékszámaira három lehetőséget találtunk.