Feladat: 1393. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1972/október, 63 - 65. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/december: 1393. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Az adott szög 26-od része 3∘. Eszerint a felosztás céljára a szög csúcsa körüli i köríven az egyik végpontjától számítva ki kell jelölnünk a k⋅3∘(k=1,2,...,25) osztópontokat. Ezután az osztópontokon át a szög csúcsából induló félegyenesek berajzolása fejezi be a szerkesztést.
A páros k értékekhez tartozó osztópontok kijelöléséhez nincs szükség egyenes vonalzóra: i megrajzolása után egyik végpontja körüli, ugyanakkora sugarú körívvel lemetszhetünk egy 60∘-os ívet, ebből a másik, 18∘-os ívet 3-szor levonva 6∘ marad, amit (ismét körzővel) a 18-os ívek mindkét végéből elvéve megvannak a k⋅6∘ osztópontok (k=1,2,...,12).
A páratlan k értékekhez tartozó osztáspontok céljára egy páros, de 4-gyel nem osztható k esetében a k⋅6∘ ív felezésével előállítjuk 3∘-nak egy páratlan többszörösét ‐ eközben egyszer az egyenes vonalzót is használjuk.
2. Ami a kívánt ügyeskedést illeti, a mondott félegyenesek mindegyikét csak külön-külön lehet megrajzolni; lépést csak körív rajzolásánál lehet megtakarítani úgy, ha az ív egy már meglevő belső osztópontjából előre és hátra mérünk fel ugyanakkora ívet, másrészt azzal, ha a szögfelezéshez valamilyen k⋅6∘ nagyságú ív húrját vesszük "tetszőleges'' körzőnyílásnak. Hogy ezek mely osztópontoknál lehetségesek, az a lépések sorrendjének megválasztásától is függ.

 

 

3. Leírunk néhány eljárást ‐ ahol csak lehetséges, röviden ‐ az osztópontok egymásutánjának megadásával.
 

I. i kijelöli: 0∘, 78∘; ezután 60∘ (vagy 78∘-60∘=18∘); 60∘-18∘=42∘; 24∘; 6∘; 6∘+6∘=12∘ (ezt az ívet elég nagyra rajzolva előkészítjük 0∘ és 6∘ osztáspontok közti ív felezését); 24∘±6∘; 42∘±6∘; 60∘±6∘; 72∘; a 0∘-os osztáspont körüli 6∘ nyílású ív a mondott felezés második köríve, ez a lépés nem ad új osztáspontot; a 3∘-os osztáspont kijelölése egyenes vonalzóval; 12∘±3∘; 24∘±3∘; 36∘±3∘; 48∘±3∘; 60∘±3∘; 72∘±3∘; végül a további 24 szár. Az eljárásban 18 körívet rajzoltunk (i-vel együtt) és közben 1 egyenest, 1 körív meddő, a kétszeresen kihasznált körívek száma 9, a különböző körzőnyílások száma 4 (60∘,18∘,6∘,3∘). A 78∘-os szög 13 egyenlő részre osztásához 10 körívet használtunk fel, közülük 3-at kétszeresen.
 

II. 0∘ és 78∘; 60∘ (elég nagy ívet véve előkészítjük a 78∘-os szög felezését); 78∘-60∘=18∘ (egyszersmind a felezés második íve); a 39∘-os osztáspont vonalzóval; 18∘+18∘=36∘, ekkor a 36∘-os és 39∘-os osztáspont között körzőnyílásba vehető a 3∘-os ív húrja; 39∘+3∘=42∘; 18∘±3∘, 60∘±3∘, ekkor 78∘ és 63∘ "távolsága'' 15∘; 39∘±15∘; 18∘±15∘; 60∘±15∘; ekkor 33∘ és 45∘ távolsága 12∘; 39∘±12∘; 18∘±12∘; 60∘±12∘; 39∘±30∘; 39∘±27∘. Rajzoltunk 15 körívet és 1 egyenest, meddő körív nincs. Kétszeresen kihasználva 10; viszont a különböző körzőnyílások száma 7.
 

III. Felezhetjük a 0∘,78∘,18∘ és 60∘ osztópontok kijelölése után a 0∘ és 18∘ közti ívet is, a 9∘ lehetséges ide-oda felmérése után körzőbe vehető a 15∘, majd a 3∘ is.
 

IV. 15∘-os szöget a 60∘ kétszeri felezésével is kaphatunk, az első felezés egyik köríveként magát a 60∘-os körívet ügyes venni, a második felezéshez 18∘-osat úgy, hogy a körző csúcsát a 60∘-os osztáspontba szúrjuk, íróhegyét a 78∘-osba és mindjárt ekkor kijelöljük a 42∘-os osztáspontot is, majd 30∘±18∘ és 0∘+18∘ után vonalzóval a 15∘, ezután 60∘±15∘, 48∘±15∘, 42∘+15∘, 63∘±9∘; 60∘±9∘; 15∘±9∘; 12∘±9∘; 24∘±15∘; 51∘±15∘. A 15 körív közül 1 meddő és 11 kétszeresen kihasznált.
 

Megjegyzés. Körív felezőpontja megszerkeszthető kizárólag körző használatával, sőt még akkor is, ha középpontja ismeretlen.* Úgy azonban a lépések száma valamivel több.
*Lásd az 1184. gyakorlat megoldásához fűzött 2. és 3. megjegyzést, K. M. L. 37 (1968) 151.