Feladat: 1393. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1972/október, 63 - 65. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/december: 1393. matematika gyakorlat

Adott egy 78-os szög. Ezt 26 egyenlő részre kell felosztanunk körző és vonalzó felhasználásával. Ügyeskedjünk úgy, hogy lehetőleg kevés lépést végezzünk.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Az adott szög 26-od része 3. Eszerint a felosztás céljára a szög csúcsa körüli i köríven az egyik végpontjától számítva ki kell jelölnünk a k3(k=1,2,...,25) osztópontokat. Ezután az osztópontokon át a szög csúcsából induló félegyenesek berajzolása fejezi be a szerkesztést.
A páros k értékekhez tartozó osztópontok kijelöléséhez nincs szükség egyenes vonalzóra: i megrajzolása után egyik végpontja körüli, ugyanakkora sugarú körívvel lemetszhetünk egy 60-os ívet, ebből a másik, 18-os ívet 3-szor levonva 6 marad, amit (ismét körzővel) a 18-os ívek mindkét végéből elvéve megvannak a k6 osztópontok (k=1,2,...,12).
A páratlan k értékekhez tartozó osztáspontok céljára egy páros, de 4-gyel nem osztható k esetében a k6 ív felezésével előállítjuk 3-nak egy páratlan többszörösét ‐ eközben egyszer az egyenes vonalzót is használjuk.
2. Ami a kívánt ügyeskedést illeti, a mondott félegyenesek mindegyikét csak külön-külön lehet megrajzolni; lépést csak körív rajzolásánál lehet megtakarítani úgy, ha az ív egy már meglevő belső osztópontjából előre és hátra mérünk fel ugyanakkora ívet, másrészt azzal, ha a szögfelezéshez valamilyen k6 nagyságú ív húrját vesszük "tetszőleges'' körzőnyílásnak. Hogy ezek mely osztópontoknál lehetségesek, az a lépések sorrendjének megválasztásától is függ.

 

 

3. Leírunk néhány eljárást ‐ ahol csak lehetséges, röviden ‐ az osztópontok egymásutánjának megadásával.
 

I. i kijelöli: 0, 78; ezután 60 (vagy 78-60=18); 60-18=42; 24; 6; 6+6=12 (ezt az ívet elég nagyra rajzolva előkészítjük 0 és 6 osztáspontok közti ív felezését); 24±6; 42±6; 60±6; 72; a 0-os osztáspont körüli 6 nyílású ív a mondott felezés második köríve, ez a lépés nem ad új osztáspontot; a 3-os osztáspont kijelölése egyenes vonalzóval; 12±3; 24±3; 36±3; 48±3; 60±3; 72±3; végül a további 24 szár. Az eljárásban 18 körívet rajzoltunk (i-vel együtt) és közben 1 egyenest, 1 körív meddő, a kétszeresen kihasznált körívek száma 9, a különböző körzőnyílások száma 4 (60,18,6,3). A 78-os szög 13 egyenlő részre osztásához 10 körívet használtunk fel, közülük 3-at kétszeresen.
 

II. 0 és 78; 60 (elég nagy ívet véve előkészítjük a 78-os szög felezését); 78-60=18 (egyszersmind a felezés második íve); a 39-os osztáspont vonalzóval; 18+18=36, ekkor a 36-os és 39-os osztáspont között körzőnyílásba vehető a 3-os ív húrja; 39+3=42; 18±3, 60±3, ekkor 78 és 63 "távolsága'' 15; 39±15; 18±15; 60±15; ekkor 33 és 45 távolsága 12; 39±12; 18±12; 60±12; 39±30; 39±27. Rajzoltunk 15 körívet és 1 egyenest, meddő körív nincs. Kétszeresen kihasználva 10; viszont a különböző körzőnyílások száma 7.
 

III. Felezhetjük a 0,78,18 és 60 osztópontok kijelölése után a 0 és 18 közti ívet is, a 9 lehetséges ide-oda felmérése után körzőbe vehető a 15, majd a 3 is.
 

IV. 15-os szöget a 60 kétszeri felezésével is kaphatunk, az első felezés egyik köríveként magát a 60-os körívet ügyes venni, a második felezéshez 18-osat úgy, hogy a körző csúcsát a 60-os osztáspontba szúrjuk, íróhegyét a 78-osba és mindjárt ekkor kijelöljük a 42-os osztáspontot is, majd 30±18 és 0+18 után vonalzóval a 15, ezután 60±15, 48±15, 42+15, 63±9; 60±9; 15±9; 12±9; 24±15; 51±15. A 15 körív közül 1 meddő és 11 kétszeresen kihasznált.
 

Megjegyzés. Körív felezőpontja megszerkeszthető kizárólag körző használatával, sőt még akkor is, ha középpontja ismeretlen.* Úgy azonban a lépések száma valamivel több.
*Lásd az 1184. gyakorlat megoldásához fűzött 2. és 3. megjegyzést, K. M. L. 37 (1968) 151.