Kezdőlap


Feladat:	1389. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Király Júlia , Somogyi Antal
Füzet:	1972/május, 208 - 209. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Derékszögű háromszögek geometriája, Sokszög lefedések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/november: 1389. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a szobák méretei (először mindig a bosszúság) I: $x$ , $y$ , II: $x$ , $z$ , III. $u$ , $z$ , így a rájuk vonatkozó egyenletek:

\begin{matrix} x y = a, & (1) \\ x z = b, & (2) \\ u z = c, & (3) \\ x^{2} + y^{2} = z^{2} + u^{2} & (4) \end{matrix}

(Az ábrákon a szobáknak és I. tükörképének egymás mellé rendezése önkényes.)

1. ábra

2. ábra

Fejezzük ki

x

-szel a többi ismeretlent az (1)‐(3) egyenletekből (

u

-t előbb

z

-vel), és helyettesítsük a kifejezéseket (4)-be:

\begin{matrix} x^{2} + \frac{a^{2}}{x^{2}} = \frac{b^{2}}{x^{2}} + \frac{c^{2} x^{2}}{b^{2}} \end{matrix}

Innen (mivel feladatunkban az ismeretlenek pozitívok)

\begin{matrix} x^{4} (1 - \frac{c^{2}}{b^{2}}) = b^{2} - a^{2}, \end{matrix}

(5)

és ha

x^{4}

szorzója nem

0

, azaz

c \neq b

, akkor

\begin{matrix} x^{4} = \frac{b^{2} (b^{2} - a^{2})}{b^{2} - c^{2}} . \end{matrix}

Ennek csak akkor van életszerű (azaz valós, pozitív) megoldása, ha a számlálóbeli és nevezőbeli különbségek egyező jelűek, azaz ha (1., ill. 2. ábra)

\begin{matrix} vagy b < a és b < c & (6) \\ vagy b > a és b > c, & (7) \end{matrix}

és ekkor a megoldás:

\begin{matrix} x = \sqrt[4]{\frac{b^{2} (b^{2} - a^{2})}{b^{2} - c^{2}}}, y = \frac{a}{x}, z = \frac{b}{x}, u = \frac{c x}{b} . \end{matrix}

(8)

Ha viszont (5)-ben

x^{4}

együtthatója

0

, azaz

\begin{matrix} b = c, \end{matrix}

akkor (5)-nek csak úgy lehet megoldása, ha a jobb oldal is

0

, azaz

\begin{matrix} b = a \end{matrix}

Ebben az esetben (5)-nek és a feladatnak megoldása

\begin{matrix} x = u = t, y = z = \frac{b}{t}, \end{matrix}

ahol

t

tetszés szerinti pozitív szám. Könnyű látni, hogy ekkor nemcsak egyenlő területű a három szoba, hanem egybevágó is.

Király Júlia (Budapest, Fazekas M. Gyak Gimn., I. o. t. )

Somogyi Antal (Budapest, Móricz Zs. Gimn., II. o. t. )

Megjegyzés. Életszerű feladatokban téglalap hosszúságán oldalainak hosszabbikát szokás érteni. Ebben az értelemben (8) csak akkor megoldás, ha az I.-ben és a II.-ban

x > y

z

, másrészt a III.-ban

z < u

.
(6) esetében (8) szerint

u > x

és

z < y

, így elég azt biztosítani, hogy

x ≧ y

legyen, aminek föltétele

\begin{matrix} c ≦ \frac{b}{a} \sqrt[]{2 a^{2} - b^{2}} \end{matrix}

(ekkor még inkább áll

c < a

).
(7) esetében pedig hasonlóan

u < x

és

z > y

és

u ≧ z

föltétele:

\begin{matrix} a ≦ \frac{b}{c} \sqrt[]{2 c^{2} - b^{2}} \end{matrix}

(amikor még inkább áll

a < c