Feladat: 1389. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Király Júlia ,  Somogyi Antal 
Füzet: 1972/május, 208 - 209. oldal  PDF file
Témakör(ök): Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Derékszögű háromszögek geometriája, Sokszög lefedések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/november: 1389. matematika gyakorlat

Egy lakásban az I. és a II. szoba hosszúsága egyenlő, továbbá egyenlő egymással a II. és a III. szoba szélessége, végül az I. és a III. szoba átlója. (A szobák alapja természetesen téglalap.) A szobák alapterülete rendre a, b, c négyzetméter. Számítsuk ki az egyes szobák méreteit.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a szobák méretei (először mindig a bosszúság) I: x, y, II: x, z, III. u, z, így a rájuk vonatkozó egyenletek:

xy=a,(1)xz=b,(2)uz=c,(3)x2+y2=z2+u2(4)


(Az ábrákon a szobáknak és I. tükörképének egymás mellé rendezése önkényes.)
 
 
1. ábra
 
 
2. ábra
 

Fejezzük ki x-szel a többi ismeretlent az (1)‐(3) egyenletekből (u-t előbb z-vel), és helyettesítsük a kifejezéseket (4)-be:
x2+a2x2=b2x2+c2x2b2
Innen (mivel feladatunkban az ismeretlenek pozitívok)
x4(1-c2b2)=b2-a2,(5)
és ha x4 szorzója nem 0, azaz cb, akkor
x4=b2(b2-a2)b2-c2.
Ennek csak akkor van életszerű (azaz valós, pozitív) megoldása, ha a számlálóbeli és nevezőbeli különbségek egyező jelűek, azaz ha (1., ill. 2. ábra)
vagyb<aésb<c(6)vagyb>aésb>c,(7)


és ekkor a megoldás:
x=b2(b2-a2)b2-c24,y=ax,z=bx,u=cxb.(8)

Ha viszont (5)-ben x4 együtthatója 0, azaz
b=c,
akkor (5)-nek csak úgy lehet megoldása, ha a jobb oldal is 0, azaz
b=a
Ebben az esetben (5)-nek és a feladatnak megoldása
x=u=t,y=z=bt,
ahol t tetszés szerinti pozitív szám. Könnyű látni, hogy ekkor nemcsak egyenlő területű a három szoba, hanem egybevágó is.
 

Király Júlia (Budapest, Fazekas M. Gyak Gimn., I. o. t. )

Somogyi Antal (Budapest, Móricz Zs. Gimn., II. o. t. )
 

Megjegyzés. Életszerű feladatokban téglalap hosszúságán oldalainak hosszabbikát szokás érteni. Ebben az értelemben (8) csak akkor megoldás, ha az I.-ben és a II.-ban x>y, z, másrészt a III.-ban z<u.
(6) esetében (8) szerint u>x és z<y, így elég azt biztosítani, hogy xy legyen, aminek föltétele
cba2a2-b2
(ekkor még inkább áll c<a).
(7) esetében pedig hasonlóan u<x és z>y és uz föltétele:
abc2c2-b2
(amikor még inkább áll a<c).