Kezdőlap


Feladat:	1386. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1972/április, 163 - 164. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/november: 1386. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kivonást a szokásos sémában felírva, az utolsó két oszlopban (1) szerint lent nagyobb számjegy áll, mint fönt; itt tehát a kisebbítendő 1 tízesét felváltjuk egyesekre, ill. 1 százasát tízesekre, így a különbség egyes, ill. tízes helyi értékű számjegye:

\begin{matrix} egyes : & e = 10 + d - a = 10 - (a - d), & (2) \\ tízes : & t = 10 + (c - 1) - b = 9 - (b - c) . & (3) \end{matrix}

Az első két oszlopban viszont fönt áll nagyobb jegy, ennélfogva a különbség további jegyei:

\begin{matrix} százas : s = (b - 1) - c = (b - c) - 1, & (4) \\ ezres : k = a - d & (5) \end{matrix}

(

k

mint a "kilométer'' kezdő betűje). Látjuk, hogy

(6)

k + e = 10

és (7)

s + t = 8

Nagyságviszonyokat is megállapíthatunk (1) alapján a különbség utolsó két, valamint első két jegyére:

\begin{matrix} t = 9 - b + c \geq 9 - (a - 1) + (d + 1) = e + 1 > e, k = a - d > a - c > b - c > s . \end{matrix}

Másrészt

k

s

t

e

valamilyen sorrendben az eredeti számjegyeket jelentik, így a legutóbbiakból azt kapjuk, hogy a különbségben

d

, a legkisebbik számjegyünk, vagy

e

, vagy

s

helyén áll, az

a

számjegy pedig vagy

k

vagy

t

helyén.
A

d = e

próbálkozás azonban ellentmondásra vezet: (2) alapján

a = 10

következik belőle; tehát a legkisebbik jegy csak

d = s

lehet.
Ezt tudva, az

a = k

, vagyis

a > t

föltételezéssel is ellentmondásra jutunk: (5) alapján

d = s = 0

, (7)-ből

t = 8

, ezért egyértelműen

a = k = 9

és (6)-ból

e = 1

következik belőle; a kapott négy számjegyből a 8-as csak

b

, az 1-es csak

c

értéke lehet, így pedig nem teljesül a (4)-ből adódó

b - c = 1

kapcsolat. Eszerint a legnagyobbik jegy csak

a = t

lehet, és (7)-ből

a \leq 8

, sőt ‐ ha elöl álló jegyként nem engedjük meg

d = 0

-t ‐, akkor

a \leq 7

.
Ekkor

b

és

c

egyike

k

, másika

e

, és (6) alapján

b + c = 10

, tehát

b

és

c

egyező párosságúak; ezért különbségük is páros:

b - c \geq 2

, így

c \leq 4

és

b \geq 6

. Ebből pedig

a \geq 7

; és ha elfogadjuk a

d \geq 1

korlátozást, akkor csak

\begin{matrix} a = 7, d = 1, b = 6, c = 4 \end{matrix}

lehet. Ez megoldása is a feladatnak, a keresett szám 7641.
A

d = 0

elindulásból

a = 8

e = 2 = c

és

b = 8 = a

adódnék, tehát más megoldás nincs.