Feladat: 1386. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1972/április, 163 - 164. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/november: 1386. matematika gyakorlat

Az abcd¯ tízes számrendszerbeli szám jegyeire fennáll, hogy a>b>c>d. Ugyanezek a jegyei valamilyen sorrendben az abcd¯-dcba¯ különbségnek is. Melyik ez a négyjegyű szám ?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kivonást a szokásos sémában felírva, az utolsó két oszlopban (1) szerint lent nagyobb számjegy áll, mint fönt; itt tehát a kisebbítendő 1 tízesét felváltjuk egyesekre, ill. 1 százasát tízesekre, így a különbség egyes, ill. tízes helyi értékű számjegye:

egyes:e=10+d-a=10-(a-d),(2)tízes :t=10+(c-1)-b=9-(b-c).(3)
Az első két oszlopban viszont fönt áll nagyobb jegy, ennélfogva a különbség további jegyei:
százas:s=(b-1)-c=(b-c)-1,(4)ezres :mmmmmmmk=a-d(5)
(k mint a "kilométer'' kezdő betűje). Látjuk, hogy
 


(6)   k+e=10 és   (7) s+t=8.
 

Nagyságviszonyokat is megállapíthatunk (1) alapján a különbség utolsó két, valamint első két jegyére:
t=9-b+c9-(a-1)+(d+1)=e+1>e,k=a-d>a-c>b-c>s.

Másrészt k, s, t, e valamilyen sorrendben az eredeti számjegyeket jelentik, így a legutóbbiakból azt kapjuk, hogy a különbségben d, a legkisebbik számjegyünk, vagy e, vagy s helyén áll, az a számjegy pedig vagy k vagy t helyén.
A d=e próbálkozás azonban ellentmondásra vezet: (2) alapján a=10 következik belőle; tehát a legkisebbik jegy csak d=s lehet.
Ezt tudva, az a=k, vagyis a>t föltételezéssel is ellentmondásra jutunk: (5) alapján d=s=0, (7)-ből t=8, ezért egyértelműen a=k=9 és (6)-ból e=1 következik belőle; a kapott négy számjegyből a 8-as csak b, az 1-es csak c értéke lehet, így pedig nem teljesül a (4)-ből adódó b-c=1 kapcsolat. Eszerint a legnagyobbik jegy csak a=t lehet, és (7)-ből a8, sőt ‐ ha elöl álló jegyként nem engedjük meg d=0-t ‐, akkor a7.
Ekkor b és c egyike k, másika e, és (6) alapján b+c=10, tehát b és c egyező párosságúak; ezért különbségük is páros: b-c2, így c4 és b6. Ebből pedig a7; és ha elfogadjuk a d1 korlátozást, akkor csak
a=7,d=1,b=6,c=4
lehet. Ez megoldása is a feladatnak, a keresett szám 7641.
A d=0 elindulásból a=8, e=2=c és b=8=a adódnék, tehát más megoldás nincs.