Kezdőlap


Feladat:	1384. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Szabó Zoltán
Füzet:	1972/április, 162 - 163. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú diofantikus egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/november: 1384. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen két megfelelő szám $a$ és $b$ , ahol $a > b$ . Így a követelmény:

\begin{matrix} a b = 10 (a - b), \end{matrix}

(1)

és ebből kellő alakítással

\begin{matrix} a = \frac{- 10 b}{b - 10} = - 10 - \frac{100}{b - 10} = \frac{100}{10 - b} - 10. \end{matrix}

Innen

a

-ra akkor és csak akkor kapunk pozitív egész számot, ha az utolsó alakbeli tört 10-nél nagyobb egész szám, vagyis

10 - b

a 100-nak 10-nél kisebb pozitív osztója, és minden ilyen esetben

b

is természetes szám lesz. Tehát a megoldások:

\begin{matrix} 10 - b = 1, & 2, & 4, & 5 \\ b = 9, & 8, & 6, & 5 \\ a = 90, & 40, & 15, & 10. \end{matrix}

E párokat fölcserélve 4 új megoldást kapunk, ugyanis a csere nyomán nem változik meg a különbség abszolút értéke.

Szabó Zoltán (Budapest, I. István Gimn., II. o. t.)

Megjegyzés. Célhoz jutunk úgy is, hogy (1) tagjait egy oldalra gyűjtjük és mindkét oldalhoz 100-at adunk, hogy a többtagú oldal szorzattá alakítható legyen:

\begin{matrix} 10 a - 10 b - a b + 100 = (10 - b) (a + 10) = 100. \end{matrix}