Feladat: 1384. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Szabó Zoltán 
Füzet: 1972/április, 162 - 163. oldal  PDF file
Témakör(ök): Másodfokú diofantikus egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/november: 1384. matematika gyakorlat

Keressük meg mindazokat a természetes számpárokat, amelyekben a két szám szorzata 10-szer akkora, mint a különbségük abszolút értéke.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen két megfelelő szám a és b, ahol a>b. Így a követelmény:

ab=10(a-b),(1)
és ebből kellő alakítással
a=-10bb-10=-10-100b-10=10010-b-10.

Innen a-ra akkor és csak akkor kapunk pozitív egész számot, ha az utolsó alakbeli tört 10-nél nagyobb egész szám, vagyis 10-b a 100-nak 10-nél kisebb pozitív osztója, és minden ilyen esetben b is természetes szám lesz. Tehát a megoldások:
10-b=1,  2,  4,5b=9,  8,  6,5a=90,40,15,10.
E párokat fölcserélve 4 új megoldást kapunk, ugyanis a csere nyomán nem változik meg a különbség abszolút értéke.
 

Szabó Zoltán (Budapest, I. István Gimn., II. o. t.)
 

Megjegyzés. Célhoz jutunk úgy is, hogy (1) tagjait egy oldalra gyűjtjük és mindkét oldalhoz 100-at adunk, hogy a többtagú oldal szorzattá alakítható legyen:
10a-10b-ab+100=(10-b)(a+10)=100.