A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Megmutatjuk, hogy az adott szabályos háromszög belsejében kétféleképpen lehet kijelölni a feladat első mondata szerinti három pontot. Ebből mindjárt adódik a kérdés magyarázatául, hogy a két tanuló a két különböző ponthármasbeli távolságokat adta meg; csak azt kell majd még belátnunk, hogy a két ponthármas által meghatározott távolságok különböznek egymástól. Rajzoljuk meg a szöget negyedelő egyeneseket és jelöljük a szemben levő oldallal való metszéspontokat az , , forgási irány szerint rendre -vel, -vel, vel .
A keresett ponthármas pontjait a csúcsaival összekötő egyenesek csak e 9 egyenes közül valók lehetnek, tehát csak olyan pontok jöhetnek szóba, amelyeken három ilyen szögnegyedelő megy át. Vannak ilyen pontok, hiszen , , a szimmetriatengelyei és mindegyik tengelyre vonatkozóan a többi negyedelők tükrös párokat alkotnak, és így a tengelyen metszik egymást. Az tengelyen van a , pár, a , pár és a , pár metszéspontja, jelöljük ezeket rendre -gyel, -vel, -gyel. Hasonlóan kapjuk a tengelyen a , , és a -n a , , a hármas metszéspontokat. E 7 ponttal felsoroltuk a szögnegyedelők összes hármas metszéspontját. Elég belátni ehhez a szimmetriák alapján azt, hogy valamelyik szélső negyedelőn, pl. -en nincs további hármas metszéspont. A rajta eddig megállapított -t és -at -vel összekötő egyenes a , ill. , így a -ből induló negyedelők közül már csak a -gyel való metszéspontja jöhet szóba. Ez azonban -nek az és közti , szakaszán van mint belső pont, ezért , tehát -n nem megy át negyedelője az szögnek; ezt akartuk belátni. A talált 7 hármas metszéspont mindegyike rajta van a H valamelyik tengelyén, pedig mind a három tengelyen rajta van. Így semelyik -vel vagy -vel nem tartozhat egy, a feladat szerinti ponthármasba, különben a ponthármast -val, -vel, -vel összekötve nem kapnánk meg -nak mind a 9 szögnegyedelőjét, pl. ha a -gyel tartozna egy ponthármasba, akkor vagy - et vagy -at nem kapnánk meg. Hasonlóan adódik, hogy nem tartozhat egy ponthármasba sem -gyel ( miatt), sem -vel, sem -mal (, ill. miatt). A , , ponthármas viszont előállítja -nak mind a 9 szögnegyedelőjét. Ugyanígy kapjuk az , , hármast és azt, hogy több megfelelő ponthármas nem állítható össze a 7 hármas metszéspont közül. Ezzel a megoldás elején kimondott állítást bebizonyítottuk. A -nak körüli 120-os forgási szimmetriájából az is következik, hogy mind a , mind a ponthármasok egy-egy szabályos háromszög csúcsai. 2. Áttérve az előre jelzett számításra, a , szabályos háromszögeknek csak egy oldalát kell kiszámítanunk. Ezek egyenlők a köréjük írt kör , ill. sugarának -szorosával. , a derékszögű háromszögben a -nél levő szög felezőjével kettévágott oldalnak része, és e háromszög oldalai , és . Ezért | | a szerkesztés szerint egyenlő szárú derékszögű háromszög, így | | Ezekből az előre bocsátottak alapján | | és eredményeink igazolják a megoldás elején a kérdés magyarázatára közölt elgondolásunkat. Megjegyzés. Ha a feladat nem kérdezte volna a lehetséges számeredményeket, akkor a 2. pont helyett elég lett volna ezt mondanunk: és háromszögek oldalainak aránya a nyilvánvalóan hasonló és háromszögekből mert benne van az háromszögben, része az -nek, tehát .
|