Kezdőlap


Feladat:	1373. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1972/február, 67. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Prímtényezős felbontás, Tizes alapú számrendszer, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/szeptember: 1373. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $N = A B C D E = k \cdot 271$ , ahol $k$ természetes szám. Leszármazottját, $N'$ -t úgy is képezhetjük, hogy $N$ -et 10-zel szorozzuk, hozzáadunk $A$ -t (vagyis a hozzáírt zérust $A$ -ra változtatjuk), végül elvesszük $A$ -nak $100 000 = 10^{5}$ -szeresét :

\begin{matrix} N' = 10 N + A - 10^{5} A = 10 N - (10^{5} - 1) A . \end{matrix}

Ámde

10^{5} - 1 = 99 999 = 271 \cdot 369

, így pedig

\begin{matrix} N' = 271 (10 k - 369 A), \end{matrix}

vagyis szintén osztható 271-gyel. Ezt kellett bizonyítanunk.

Az állítás 5-nél több jegyű (tízes számrendszerbeli) számra is érvényes úgy, hogy

A

-nak azt a többjegyű számot tekintjük, amely utolsó négy jegyének elhagyásával áll elő belőle.

A feladat állításából következik, hogy ha

A B C D E

osztható 271-gyel, akkor a

B C D E A

C D E A B

D E A B C,

és

E A B C D

számok is oszthatók 271-gyel. Ezekben elöl zérusok is előfordulhatnak, ilyen esetben csak kiegészítéssel mondhatók ötjegyűnek (ahogyan a sorszámozógép is a

100 000

alatti egész számok mindegyikét 5 jeggyel nyomtatja, ha 5 jegyűre van beállítva).

Megjegyzések. 1. Igaz az állítás akkor is, ha 271 helyére

99 999 = 271 \cdot 3^{2} \cdot 41

-nek más osztóját írjuk. Ez a 9-es osztóra nem mond újat, hiszen az eredeti és a leszármaztatott szám számjegyeinek összege ugyanaz.

2. Más alapszámú számrendszerekben felírt ötjegyű számra úgy érvényes a feladat állítása, ha 271 helyére a

b^{5} - 1

szám valamely osztóját írjuk (

b

a számrendszer alapszáma, bázisa). Például a 9-es számrendszer esetében

9^{5} - 1 = 2^{3} \cdot 11^{2} \cdot 61

(a tényezőket még a tízes rendszerben írtuk).