Feladat: 1373. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 1972/február, 67. oldal  PDF file
Témakör(ök): Oszthatósági feladatok, Prímtényezős felbontás, Tizes alapú számrendszer, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/szeptember: 1373. matematika gyakorlat

Nevezzük az ABCDE (tízes számrendszerbeli) szám leszármazottjának a BCDEA számot. (A betűk számjegyeket jelentenek.) Bizonyítsuk be, hogy ha egy szám osztható 271-gyel, akkor a leszármazottja is osztható 271-gyel.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen N=ABCDE=k271, ahol k természetes szám. Leszármazottját, N'-t úgy is képezhetjük, hogy N-et 10-zel szorozzuk, hozzáadunk A-t (vagyis a hozzáírt zérust A-ra változtatjuk), végül elvesszük A-nak 100000=105-szeresét :

N'=10N+A-105A=10N-(105-1)A.
Ámde 105-1=99999=271369, így pedig
N'=271(10k-369A),
vagyis szintén osztható 271-gyel. Ezt kellett bizonyítanunk.
 

Az állítás 5-nél több jegyű (tízes számrendszerbeli) számra is érvényes úgy, hogy A-nak azt a többjegyű számot tekintjük, amely utolsó négy jegyének elhagyásával áll elő belőle.
 

A feladat állításából következik, hogy ha ABCDE osztható 271-gyel, akkor a BCDEA, CDEAB, DEABC, és EABCD számok is oszthatók 271-gyel. Ezekben elöl zérusok is előfordulhatnak, ilyen esetben csak kiegészítéssel mondhatók ötjegyűnek (ahogyan a sorszámozógép is a 100000 alatti egész számok mindegyikét 5 jeggyel nyomtatja, ha 5 jegyűre van beállítva).
 

Megjegyzések. 1. Igaz az állítás akkor is, ha 271 helyére 99999=2713241-nek más osztóját írjuk. Ez a 9-es osztóra nem mond újat, hiszen az eredeti és a leszármaztatott szám számjegyeinek összege ugyanaz.
 

2. Más alapszámú számrendszerekben felírt ötjegyű számra úgy érvényes a feladat állítása, ha 271 helyére a b5-1 szám valamely osztóját írjuk (b a számrendszer alapszáma, bázisa). Például a 9-es számrendszer esetében 95-1=2311261 (a tényezőket még a tízes rendszerben írtuk).