Kezdőlap


Feladat:	1276. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Arvay L. , Bacsinszky T. , Bacsó G. , Bálint L. , Balog J. , Balogh Z. , Bartolits I. , Benkő L. , Breuer P. , Császi J. , Csatár L. , Csernátony G. , Domokos Mária (Makó) , Fazekas I. , Fehérvári J. , Ferró J. , Füredi Z. , Földes T. , Gál P. , Gálfi V. , Gáspár Gy. , Gazdag P. , Győriványi G. , Hadik Gy. , Hanák G. , Hannák L. , Horváth László , Horváth Mária , Hovráth Miklós , Iván T. , Jámbor J. , Kelemen I. , Kémeri Viktória , Kertész Á. , Kertész G. , Kirchner I. , Kiss György , Koch R. , Kollár I. , Komornik V. , Kovács István , Láng I. , Lóránd F. , Losonczi Ilona , Luchterhand J. , Major I. , Márkus L. , Móri T. , Nagy Sándor , Oláh Vera , Pálffy L. , Pap Gy. , Párkány Katalin , Pataki B. , Prácser P. , Reiczigel J. , Salamon P. , Smohay F. , Szabados Gy. , Szeredi J. , Szili L. , Tarsó B. , Tóth Gábor , Tóth Károly , Traply E. , Turán Gy. , Vajda Gy. , Varga István , Wittmann I.
Füzet:	1970/szeptember, 20 - 21. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Természetes számok, Tizes alapú számrendszer, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/november: 1276. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a négy szám $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , közös kezdő (százas helyi értékű) jegyük $j (≧ 1)$ , összegük $s$ , továbbá $s / a = α$ , $s / b = β$ , $s / c = γ$ természetes számok, végül az első három számnak (ti. amelyek osztói $s$ -nek) nagyságviszonya:

\begin{matrix} 100 j \leq a < b < c 100 (j + 1) . \end{matrix}

Így egyrészt

α > β > γ

, másrészt

\begin{matrix} 1 < \frac{b}{a} < \frac{c}{a} < \frac{j + 1}{j} \leq 2, \end{matrix}

(1)

hasonlóan

\begin{matrix} \frac{d}{a} < 2, \end{matrix}

(1a)

továbbá

\begin{matrix} \frac{c}{a} = \frac{α}{γ} < 2. \end{matrix}

(2)

Az összeg alapján (1) felhasználásával korlátokat kapunk az

α

β

γ

hányadosokra:

\begin{matrix} α a = s < a + (2 a + 2 a + 2 a) = 7 a, α < 7; \\ γ c = s = c + (a + b + d) > c + (100 j + 100 + 0) = \\ = c + 100 (j + 1) > 2 c, γ > 2. \end{matrix}

Ezek szerint az

α

β

γ

számhármas tagjai

6

5

4

és

3

közül valók, de (2) miatt nem léphet fel köztük egyszerre

6

és

3

. Így értékük vagy

6

5

és

4

, vagy pedig

5

4

és

3

.
Az első esetben

\begin{matrix} a + b + c = s (\frac{1}{6} + \frac{1}{5} + \frac{1}{4}) = \frac{37 s}{60}, \\ d = \frac{23 s}{60} > \frac{s}{3} = 2 a, \end{matrix}

ami (1a) szerint lehetetlen.
A második esetben hasonlóan

\begin{matrix} a + b + c = s (\frac{1}{5} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3}) = \frac{12 s}{60} + \frac{15 s}{60} + \frac{20 s}{60} = \frac{47 s}{60}, \\ d = \frac{13 s}{60}, \end{matrix}

tehát számaink legnagyobbika

c

, legkisebbike

a

. Továbbá

d

egész voltára tekintettel

s / 60 = k

egész szám.
A közös kezdő jegy miatt

\begin{matrix} c - a = 20 k - 12 k = 8 k < 100, \\ k ≦ 12 és s ≦ 720, \end{matrix}

másrészt

s > 400 j

, ezek szerint

j < 2

, tehát

j = 1

. Most már

c = 20 k < 200

alapján

k \leq 9

, és

a = 12 k \geq 100

alapján

k \geq 9

, tehát

k = 9

s = 540

a = 108

b = 135

c = 180

d = 117