Feladat: 1276. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Arvay L. ,  Bacsinszky T. ,  Bacsó G. ,  Bálint L. ,  Balog J. ,  Balogh Z. ,  Bartolits I. ,  Benkő L. ,  Breuer P. ,  Császi J. ,  Csatár L. ,  Csernátony G. ,  Domokos Mária (Makó) ,  Fazekas I. ,  Fehérvári J. ,  Ferró J. ,  Füredi Z. ,  Földes T. ,  Gál P. ,  Gálfi V. ,  Gáspár Gy. ,  Gazdag P. ,  Győriványi G. ,  Hadik Gy. ,  Hanák G. ,  Hannák L. ,  Horváth László ,  Horváth Mária ,  Hovráth Miklós ,  Iván T. ,  Jámbor J. ,  Kelemen I. ,  Kémeri Viktória ,  Kertész Á. ,  Kertész G. ,  Kirchner I. ,  Kiss György ,  Koch R. ,  Kollár I. ,  Komornik V. ,  Kovács István ,  Láng I. ,  Lóránd F. ,  Losonczi Ilona ,  Luchterhand J. ,  Major I. ,  Márkus L. ,  Móri T. ,  Nagy Sándor ,  Oláh Vera ,  Pálffy L. ,  Pap Gy. ,  Párkány Katalin ,  Pataki B. ,  Prácser P. ,  Reiczigel J. ,  Salamon P. ,  Smohay F. ,  Szabados Gy. ,  Szeredi J. ,  Szili L. ,  Tarsó B. ,  Tóth Gábor ,  Tóth Károly ,  Traply E. ,  Turán Gy. ,  Vajda Gy. ,  Varga István ,  Wittmann I. 
Füzet: 1970/szeptember, 20 - 21. oldal  PDF file
Témakör(ök): Természetes számok, Tizes alapú számrendszer, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1969/november: 1276. matematika gyakorlat

Négy egymástól különböző, háromjegyű szám ugyanazzal a számjeggyel kezdődik. Összegük osztható a számok közül hárommal. Határozzuk meg a számokat.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a négy szám a, b, c, d, közös kezdő (százas helyi értékű) jegyük j(1), összegük s, továbbá s/a=α, s/b=β, s/c=γ természetes számok, végül az első három számnak (ti. amelyek osztói s-nek) nagyságviszonya:

100ja<b<c100(j+1).

Így egyrészt α>β>γ, másrészt
1<ba<ca<j+1j2,(1)
hasonlóan
da<2,(1a)
továbbá
ca=αγ<2.(2)

Az összeg alapján (1) felhasználásával korlátokat kapunk az α, β, γ hányadosokra:

αa=s<a+(2a+2a+2a)=7a,α<7;γc=s=c+(a+b+d)>c+(100j+100+0)==c+100(j+1)>2c,γ>2.



Ezek szerint az α, β, γ számhármas tagjai 6, 5, 4 és 3 közül valók, de (2) miatt nem léphet fel köztük egyszerre 6 és 3. Így értékük vagy 6, 5 és 4, vagy pedig 5, 4 és 3.
Az első esetben

a+b+c=s(16+15+14)=37s60,d=23s60>s3=2a,


ami (1a) szerint lehetetlen.
A második esetben hasonlóan

a+b+c=s(15+14+13)=12s60+15s60+20s60=47s60,d=13s60,


tehát számaink legnagyobbika c, legkisebbike a. Továbbá d egész voltára tekintettel s/60=k egész szám.
A közös kezdő jegy miatt

c-a=20k-12k=8k<100,k12éss720,


másrészt s>400j, ezek szerint j<2, tehát j=1. Most már c=20k<200 alapján k9, és a=12k100 alapján k9, tehát k=9, s=540, a=108, b=135, c=180, d=117.