Feladat:	1262. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balogh Z. ,  Bodnár I. ,  Breuer Péter ,  Gál P. ,  Garay B. ,  Hadik Gy. ,  Hegyi F. ,  Horváth M. ,  Kertész Á. ,  Kiss Ipoly ,  Kiss Mária ,  Koch R. ,  Kovalcsik A. ,  Lehőcz Ágnes ,  Lengyel J. ,  Manigáti Cs. ,  Nagy Zsuzsa ,  Pókos Z. ,  Sváb J. ,  Szabados Gy. ,  Szendrei Ágnes ,  Szendrei Mária ,  Varsányi I. ,  Vogel Anna
Füzet:	1970/április, 155 - 156. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/május: 1262. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   $m_2$ és $k_2$ szimmetrikus $AC$-re, ezért két metszéspontjuk ‐ ha létrejön ‐ egyenlő távolságra van $A$-tól, legyen egyikük $B_1$ az $AC$ oldal és $m_2$ metszéspontja $B_2$, végül az $A$-ból $k_1$- hez húzott érintők egyikének érintési pontja ‐ ha létezik ‐ $E$. Elég megmutatni, hogy $A{B}_1=AE$ ‐ hiszen a másik érintőszakasz hossza szintén $AE$ ‐, továbbá mert a $k_3$ és $m_3$ metszéspontjai és $A$ közti távolság és $AE$ egyenlőségére vonatkozó bizonyítás ugyanúgy végezhető.     $AC{B}_1$ derékszögű háromszög, ezért $\begin{array}{c}{\displaystyle AB{}_1^2=A{B}_2\cdot AC\mathrm{.}}\end{array}$ $k_1$ átmegy $B_2$-n, hiszen a $B{B}_{2}C$ szög derékszög, így az $AC$ szelőre és $AE$ érintőre $\begin{array}{c}{\displaystyle A{E}^2=A{B}_2\cdot AC\mathrm{,}}\end{array}$ eszerint, mint szakaszok hosszai, $AE=A{B}_1$, amit bizonyítani akartunk. Hegyesszögű háromszög esetében a 6 pont mindig létrejön, mert mindegyik magasság a szemben fekvő oldalt annak belső pontjában metszi és mert mindegyik csúcs kívül van a szemben levő oldal fölötti Thalész-körön. Ha az $ABC$ háromszögben $A$-nál derékszög van, akkor a $B$-ből és $C$-ből húzott magasság itt érinti $k_2$-t, ill. $K_3$-at, továbbá $A$ maga $k_1$-en van, így a mondott 6 pont mindegyike $A$-ba esik. Ha egy másik csúcsban, pl. $C$-ben van derékszög, akkor oda esik $k_2$ és $m_2$ egyetlen közös pontja, $k_3$ és $m_3$ egyik közös pontja és a $k_1$ hez húzott érintők egyikének érintési pontja. Ha a $BAC$ szög tompaszög, akkor $m_2$-nek nincs közös pontja $k_2$-vel, sem $m_3$-nak $k_3$-mal és $A$-ból nem húzható érintő $k_1$-hez, mert $k_1$ belsejében van. Ha pedig pl. a $BCA$ szög tompaszög, pontjainkból 4 létrejön ‐ csak $m_2$, $k_2$ metszéspontja nem.   Breuer Péter (Eger, Gárdonyi G. Gimn., I. o. t.)