Feladat: 1262. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Balogh Z. ,  Bodnár I. ,  Breuer Péter ,  Gál P. ,  Garay B. ,  Hadik Gy. ,  Hegyi F. ,  Horváth M. ,  Kertész Á. ,  Kiss Ipoly ,  Kiss Mária ,  Koch R. ,  Kovalcsik A. ,  Lehőcz Ágnes ,  Lengyel J. ,  Manigáti Cs. ,  Nagy Zsuzsa ,  Pókos Z. ,  Sváb J. ,  Szabados Gy. ,  Szendrei Ágnes ,  Szendrei Mária ,  Varsányi I. ,  Vogel Anna 
Füzet: 1970/április, 155 - 156. oldal  PDF file
Témakör(ök): Derékszögű háromszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1969/május: 1262. matematika gyakorlat

Az ABC háromszög BC,CA,AB oldalszakasza fölé rajzolt Thalész-kör legyen rendre k1,k2,k3, az oldalakhoz tartozó magasságvonal pedig m1,m2,m3. Bizonyítandó, hogy m2 és k2 metszéspontjai, m3 és k3 metszéspontjai és az A-ból k1-hez húzott érintők érintési pontjai egy körön vannak, és hogy ennek a körnek középpontja A.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 

m2 és k2 szimmetrikus AC-re, ezért két metszéspontjuk ‐ ha létrejön ‐ egyenlő távolságra van A-tól, legyen egyikük B1 az AC oldal és m2 metszéspontja B2, végül az A-ból k1- hez húzott érintők egyikének érintési pontja ‐ ha létezik ‐ E. Elég megmutatni, hogy AB1=AE ‐ hiszen a másik érintőszakasz hossza szintén AE ‐, továbbá mert a k3 és m3 metszéspontjai és A közti távolság és AE egyenlőségére vonatkozó bizonyítás ugyanúgy végezhető.
 

 

ACB1 derékszögű háromszög, ezért
AB12=AB2AC.

k1 átmegy B2-n, hiszen a BB2C szög derékszög, így az AC szelőre és AE érintőre
AE2=AB2AC,
eszerint, mint szakaszok hosszai, AE=AB1, amit bizonyítani akartunk.
Hegyesszögű háromszög esetében a 6 pont mindig létrejön, mert mindegyik magasság a szemben fekvő oldalt annak belső pontjában metszi és mert mindegyik csúcs kívül van a szemben levő oldal fölötti Thalész-körön.
Ha az ABC háromszögben A-nál derékszög van, akkor a B-ből és C-ből húzott magasság itt érinti k2-t, ill. K3-at, továbbá A maga k1-en van, így a mondott 6 pont mindegyike A-ba esik.
Ha egy másik csúcsban, pl. C-ben van derékszög, akkor oda esik k2 és m2 egyetlen közös pontja, k3 és m3 egyik közös pontja és a k1 hez húzott érintők egyikének érintési pontja.
Ha a BAC szög tompaszög, akkor m2-nek nincs közös pontja k2-vel, sem m3-nak k3-mal és A-ból nem húzható érintő k1-hez, mert k1 belsejében van.
Ha pedig pl. a BCA szög tompaszög, pontjainkból 4 létrejön ‐ csak m2, k2 metszéspontja nem.
 

Breuer Péter (Eger, Gárdonyi G. Gimn., I. o. t.)