$D$ szerepére $k_1$-nek és $k_2$-nek $2$ közös pontja jön szóba, legyen $D$ az $AB$ egyenesnek azon a partján, amelyen $k$-nak $O$ középpontja van, és ennek tükörképe $AB$-re $D\text{'}$, továbbá $CD\text{'}$ és $k$ második küzös pontja $E\text{'}$.
Az $ABD$ és $ABD\text{'}$ háromszögek szerkesztésüknél fogva egyenlő oldalúak, ezért $BAD\sphericalangle =BAD\text{'}\sphericalangle ={60}^{\circ }$, és $BCD\sphericalangle =BCD\text{'}\sphericalangle ={30}^{\circ }$ vagy ${150}^{\circ }$, mint $k_1$-beli kerületi szögek a $BD$, ill. $BD\text{'}$ íven. A $BCE$ és $BCE\text{'}$ szög azonos ezzel, ill. a kiegészítő szögével ‐ ha ti. a $DE$, ill. $D\text{'}E\text{'}$ szakasz belső pontként tartalmazza $C$-t ($DC$, $D\text{'}C$ a $k$ érintőjévé válik, ha $AOB\sphericalangle ={150}^{\circ }$, ill. ha ${30}^{\circ }$), s mivel $C$ a $k$-n is rajta van, azért $k$-nak $BE$, $BE\text{'}$ húrja $O$-ból mindenesetre ${60}^{\circ }$ szögben látszik: $BE=BE\text{'}=BO=AO$. Így pedig a $BAO$ háromszög, $B$ körül ${60}^{\circ }$-kal mindkét irányban elfordítva, lefedi a $BDE$, ill. $BD\text{'}E\text{'}$ háromszöget, tehát $DE=AO=D\text{'}E$ minden olyan esetben, ha $E$, ill. $E\text{'}$ egyértelműen létrejött, vagyis $C$ a $D$-től és $D\text{'}$-től különböző pont.
Csak akkor nem teljesül ez, ha $AOB\sphericalangle ={120}^{\circ }$, és ezért $C$ egybeesik $D$-vel, ekkor csak $D\text{'}E\text{'}$-re érvényes az állítás. Amennyiben azonban $CD$ egyenesként ‐ ami általában $k_1$ húrja ‐ ebben az esetben elfogadjuk $k_1$-nek $C$-beli érintőjét. úgy az állítás ebben az esetben is érvényes.