Feladat: 1214. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Benkő L. ,  Cselley J. ,  Engedi A. ,  Farkas P. ,  Fodor Éva ,  Frankl P. ,  Frey Julianna ,  Füredi Z. ,  Garay B. ,  Gáspár Gy. ,  Hadik Gy. ,  Hatternik Gy. ,  Horváth András ,  Jakab F. ,  Juhász Judit ,  Karády Ilona ,  Kávási M. ,  Kelen M. ,  Kiss Mária ,  Kovács József ,  Lakatos B. ,  Láng I. ,  Lehőcz Ágnes ,  Lénárt L. ,  Lengyel J. ,  Miseta Rozália ,  Nacsa Rozália ,  Nagy Csaba ,  Pap Gy. ,  Pataki L. ,  Pavluska P. ,  Pichler G. ,  Pókos Z. ,  Reviczky J. ,  Soós L. ,  Sváb J. ,  Szalai Á. ,  Szendrei Ágnes ,  Szendrei Márta ,  Tatár Ágota ,  Tordai Margit 
Füzet: 1970/május, 197 - 198. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tengelyes tükrözés, Pont körüli forgatás, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1968/szeptember: 1214. matematika gyakorlat

Egy k körvonal A és B pontja körül k1, k2 kört írunk az AB húrral egyenlő hosszú sugárral. k1 a k-t a (B-től különböző) C pontban metszi, k2-t pedig D-ben; a DC egyenesnek k-n levő második pontja E. Igaz-e mindig, hogy DE egyenlő k sugarával.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

D szerepére k1-nek és k2-nek 2 közös pontja jön szóba, legyen D az AB egyenesnek azon a partján, amelyen k-nak O középpontja van, és ennek tükörképe AB-re D', továbbá CD' és k második küzös pontja E'.
Az ABD és ABD' háromszögek szerkesztésüknél fogva egyenlő oldalúak, ezért BAD=BAD'=60, és BCD=BCD'=30 vagy 150, mint k1-beli kerületi szögek a BD, ill. BD' íven. A BCE és BCE' szög azonos ezzel, ill. a kiegészítő szögével ‐ ha ti. a DE, ill. D'E' szakasz belső pontként tartalmazza C-t (DC, D'C a k érintőjévé válik, ha AOB=150, ill. ha 30), s mivel C a k-n is rajta van, azért k-nak BE, BE' húrja O-ból mindenesetre 60 szögben látszik: BE=BE'=BO=AO. Így pedig a BAO háromszög, B körül 60-kal mindkét irányban elfordítva, lefedi a BDE, ill. BD'E' háromszöget, tehát DE=AO=D'E minden olyan esetben, ha E, ill. E' egyértelműen létrejött, vagyis C a D-től és D'-től különböző pont.
Csak akkor nem teljesül ez, ha AOB=120, és ezért C egybeesik D-vel, ekkor csak D'E'-re érvényes az állítás. Amennyiben azonban CD egyenesként ‐ ami általában k1 húrja ‐ ebben az esetben elfogadjuk k1-nek C-beli érintőjét. úgy az állítás ebben az esetben is érvényes.

 

 

Hasonlóan értelmezve a BC egyenest arra az esetre, ha C egybeesik B-vel, vagyis, ha B az A-nak átellenes pontja, bizonyításunk erre az esetre is érvényes marad, a kerületi szögek egyik szára érintővé válik. Ekkor az AOB háromszög egyenesszakasszá fajul el.
 

Miseta Rozália (Makó, József A. Gimn., I. o. t.)

 
Megjegyzések. 1. A fenti forgatás helyett befejezhetjük a bizonyítást így is: BE-t, BE'-t A-hól 30 vagy 150 szögben látjuk, ezért AE felezi a BAD szöget, AE' pedig BAD'-t; másrészt EA, E'A a CEB, ill. CE'B szöget felezi; végül AD=AB=AD' alapján D, a B pont tükörképe AE-re és D' a BAE'-re, ezért DE=BE=OA, D'E'=BE'=OA.
 

Horváth András (Budapest, I. István Gimn., II. o. t.)

 

2. Egy más megoldása olvasható a fenti gyakorlatnak ezen szám 196. oldalán.