Feladat: 1194. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csetényi Artúr 
Füzet: 1968/november, 154. oldal  PDF file
Témakör(ök): Oszthatósági feladatok, Prímtényezős felbontás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1968/április: 1194. matematika gyakorlat

Az osztály a következő feladatot kapta. Határozzuk meg azt a legkisebb H természetes számot, melynek fele egyenlő egy teljes köbszámmal, harmada egyenlő egy teljes ötödik hatvánnyal, ötödrésze pedig egy teljes négyzettel.
Pista és Sanyi aznap hiányoztak, egyik-egyik barátjuk emlékezetből mondta el nekik a feladatot, így azután Pista a legkisebb (1) tulajdonságú, Sanyi pedig a legkisebb (2) tulajdonságú P, ill. S természetes számot határozta meg, ahol A, B, C, D, E, F természetes számok.
P/2=A2,P/3=B3,P/5=C5,(1)S/2=D5,S/3=E2,S/5=F3.(2)

Melyik a legkisebb a H, P, S számok közül ?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. A házi feladatban meghatározandó H szám fele, harmada, ötöde is természetes szám, tehát H 2-vel, 3-mal, 5-tel osztható:

H=2α3β5γH1(3)
alakú, ahol α, β, γ, H1 természetes számok, és H1 a 2, 3, 5 prímszámok egyikével sem osztható. (3) alapján H fele, harmada, ötöde rendre
H2=2α-13β5γH1,H3=2α3β-15γH1,H5=2α3β5γ-1H1,
tehát H/2 csak úgy lehet köbszám, ha α-1, β, γ osztható 3-mal, H/3 csak úgy lehet egy természetes szám ötödik hatványa, ha α, β-1, γ osztható 5-tel, végül H/5 akkor négyzetszám, ha α, β páros, γ páratlan.
H nyilván akkor a legkisebb, ha α, β, γ, H1 a lehető legkisebb. Így H1=1, és emiatt elegendő a fenti feltételeknek eleget tevő legkisebb α, β, γ számokat meghatározni. α osztható 2-vel, 5-tel, így 10-zel is; β osztható 6-tal és γ osztható 15-tel. A legkisebb ilyen
α=10,β=6,γ=15
értékrendszer a további követelményeknek is eleget tesz (α-1 osztható 3-mal, β-1 osztható 5-tel, γ-1 páros) tehát H legkisebb értéke:
H=21036515.(4)

II. Hasonlóan (1), ill. (2) legkisebb megoldása:
P=21531056,S=26315510.(5)

Mármost (4)-ből és (5)-ből
HS=245539=53(109)4>1,tehátS<H,PS=293554=23(415)4<1,tehátP<S,
és így a H, P, S számok legkisebbike P.
 

 Csetényi Artúr(Kiskunhalas, Szűcs J. Ált. Isk., 8. o. t.)