Feladat:	1160. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Hetzer Jenő ,  Lászlófalvi Zoltán
Füzet:	1968/október, 68. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Trigonometria, Párhuzamos szelők tétele, Síkbeli szimmetrikus alakzatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/november: 1160. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   a) Alkalmazzuk a szögfelező osztásarányáról szóló tételt az $EAG$ és $EAH$ háromszögre és vegyük figyelembe, hogy $G$ és $H$ szimmetrikus felvétele miatt $AG=AH$: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle EL:LG=EA:AG=EA:AH=ES:HH\mathrm{.}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \sim \sim \sim \sim \sim \phantom{=EA:AG=EA:AH=}\sim \sim \sim \sim \sim }\hfill \end{array}}$ Eszerint a $GEH$ szög szárait metsző $LK$ és $GH$ egyenesek párhuzamosak; másrészt az utóbbi azonos az $AB$ egyenessel, tehát az állítás helyes.   b) Az ábrán $G$-t az $FB$, $H$-t az $FC$ szakasz belsejében vettük fel, így a $KAL$ szög szárai a konvex $EAH$ szögtartományban vannak és ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle KAL\sphericalangle =KAE\sphericalangle -LAE\sphericalangle =\frac{HAE\sphericalangle }{2}-\frac{GAE\sphericalangle }{2}=\frac{HAG\sphericalangle }{2}\mathrm{.}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \sim \sim \sim \sim \sim \sim \sim \sim \sim }\hfill \end{array}}$ $G$-t és $H$-t fölcserélve $K$ és $L$ is fölcserélődik, és hasonló számítással ugyanerre az eredményre jutunk. Nem kellett felhasználnunk, hogy $E$ a szár felezőpontja, így $KL$ akkor is párhuzamos $BC$-vel, ha $E$ helyére az $AB$ szár bármely belső pontját írjuk, a $KAL$ szög kifejezése pedig akkor is érvényes, ha $E$ helyére $B$-t írjuk.    Hetzer Jenő (Sopron, Széchenyi I. Gimn., II. o. t.)  Lászlófalvi Zoltán (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., I. o. t.)   Megjegyzés. Könnyű belátni, hogy $KL\parallel BC$ akkor is fennáll, ha $G$ (és így $H$ is) az alap meghosszabbításának $B$-től és $C$-től különböző pontja, továbbá a $KAL$ szög kifejezése akkor is érvényes, ha $E$ az $AB$ félegyenes tetszés szerinti pontja.