Kezdőlap


Feladat:	1109. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csörgei József , Faragó L. , Fiala T. , Fialovszky Alice , Hárs László , Komjáth Péter , Lőrincz András , Moson Péter , Munk Sándor , Nagy Dénes , Pataki István , Perémy Gábor , Somogyi Árpád , Takács László
Füzet:	1967/november, 152 - 154. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális számok és tulajdonságaik, Hatványösszeg, Interpoláció, Interpolációs polinomok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/február: 1109. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Az 1029. gyakorlatban¹ talált negyedik közelítő érték:

\begin{matrix} \sqrt[]{a^{2} + b} \approx a + \frac{b}{2 a} - \frac{b^{2}}{4 a (2 a^{2} + b)} - \frac{b^{4}}{8 a (2 a^{2} + b) (8 a^{4} + 8 a^{2} b + b^{2})} . \end{matrix}

(2)

a^{2} + b

átmegy

1 + x

-be, ha

a = 1

b = x

, ekkor (2) így alakul:

\begin{matrix} \sqrt[]{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^{2}}{4 (2 + x)} - \frac{x^{4}}{8 (2 + x) (8 + 8 x + x^{2})}, \end{matrix}

(3)

ami az első két tagban egyezik (1)-gyel. (3) harmadik tagjából (1) harmadik tagja előáll úgy, hogy a nevezőben elhagyjuk a

2 + x

tényező

x

tagját, mintegy azt mondván egyelőre, hogy ez ,,kicsi'' a

2

-es taghoz képest. Próbáljuk ezt tekinteni a kérdéses módosítás egy elemének, azaz

d_{2} = - x^{2} / [4 (2 + x)]

helyére a

d'_{2} = - x^{2} / 2^{3}

hányadost írni.
Ugyanez a lépés, ti.

x

elhagyása ,,nagyobb'' tag mellől (3) negyedik tagja nevezőjének mindkét tényezőjében, a tagot

- x^{4} / 128 = - x^{4} / 2^{7}

-re, egyszerűbbre módosítja. Ez a tag (1) ötödik tagjára emlékeztet, de ott az 5-szöröse áll. Ennek megmagyarázásán túl a következő kérdés is fölmerül: honnan ered (1) negyedik tagja ?
Lépésünk következményeire áttérve kézenfekvő ez a sejtés:

x

-et csak a

d'_{2}

hányados felírásában hagyták el, hogy a közelítő kifejezésben ne léphessen fel nevezőben, viszont a következő maradék megállapításában mégis a helyes osztó és a módosult új tag szorzatát vonták le az előző maradékból; ez a szorzat ugyanis

x

-nek ismét polinomja, amivel nincs olyan számolási kényelmetlenség. Nézzük meg hát, hogyan alakul tovább az eljárás, maradéknak az

m'_{3} = m_{2} - (2 c_{2} + d'_{2}) \cdot d_{2}

különbséget véve, ahol

m_{2} = - b^{2} / 4 a^{2} = - x^{2} / 4

, és

c_{2} = 1 + x / 2

. Ezt kapjuk:

\begin{matrix} m'_{3} = - \frac{x^{2}}{4} - (2 + x - \frac{x^{2}}{2^{3}}) (- \frac{x^{2}}{2^{3}}) = \frac{x^{3}}{2^{3}} - \frac{4^{4}}{2^{6}} . \end{matrix}

Ha a következő tagot úgy képezzük, hogy ezt, pontosabban mondva

m'_{3}

első tagját, az eddig kapott

c'_{3} = 1 + x / 2 - x^{2} / 2^{3}

közelítő érték

2

-szerese helyett ismét csak

2 c_{1}

-gyel osztjuk, akkor

\begin{matrix} d'_{3} = m''_{3} / 2 c_{1} = (x^{3} / 2^{3}) : 2 = x^{3} / 2^{4} \end{matrix}

adódik. Eszerint sejtésünk magyarázatot adott (1) negyedik tagjának fellépésére.
Ezzel be is fejeztük keresésünket. Ugyanis (1)-nek 5. tagja is kiadódik eddigi módosításaink szerint:

\begin{matrix} m'_{4} = m'_{3} - (2 c'_{3} + d'_{3}) \cdot d'_{3} = \frac{x^{3}}{2^{3}} - \frac{x^{4}}{2^{6}} - (2 + x - \frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{x^{3}}{2^{4}}) \cdot \frac{x^{3}}{2^{4}} = - \frac{5 x^{4}}{2^{6}} + \frac{x^{5}}{2^{6}} - \frac{x^{6}}{2^{8}}, \end{matrix}

innen

\begin{matrix} d'_{4} = (- \frac{5 x^{4}}{2^{6}}) : 2 = - \frac{5 x^{4}}{2^{7}}, \end{matrix}

ami éppen (1) utolsó tagja.
A módosítás talált két, elemét egybefoglalhatjuk a következő megállapításban, amivel a ,,kicsi mennyiség elhagyása'' nem elég határozott kifejezés használatát is elkerüljük: (1) az 1029. gyakorlatbeli eljárás szerint adódott, az osztásokat úgy végezve, hogy új tagként a (csökkenően rendezett) maradék első tagjából és a (növekvően rendezett) osztó első tagjából képezett hányadost vettük. Valóban, így osztottunk az első lépésben is

2 + x

első tagjával,

2

-vel, nem az elhagyás volt a lényeges.

II. Ezek alapján a kívánt további

2

tag számítása:

\begin{matrix} m'_{5} = & m'_{4} - (2 c'_{4} + d'_{4}) \cdot d'_{4} = - \frac{5 x^{4}}{2^{6}} + \frac{x^{5}}{2^{6}} - \frac{x^{6}}{2^{8}} - (2 + x - \frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{x^{3}}{2^{3}} - \frac{5 x^{4}}{2^{7}}) \cdot (- \frac{5 x^{4}}{2^{7}}) = \\ = & \frac{7 x^{5}}{2^{7}} - \frac{7 x^{6}}{2^{9}} + két magasabb fokú tag, \\ d'_{5} = \frac{7 x^{5}}{2^{7}} : 2 = \frac{7 x^{5}}{2^{8}}, m'_{6} = ... = - \frac{21 x^{6}}{2^{9}} + magasabb fokú tagok, \\ d'_{6} = \frac{21 x^{6}}{2^{10}} . \end{matrix}

x

-nek

6

-iknál magasabb fokú tagjaira nem volt szükségünk. Ezek szerint (1) így alakul:

\begin{matrix} \sqrt[]{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^{2}}{2^{3}} + \frac{x^{3}}{2^{4}} - \frac{5 x^{4}}{2^{7}} + \frac{7 x^{5}}{2^{8}} - \frac{21 x^{6}}{2^{10}} . \end{matrix}

(4)

III. Alkalmazzuk az eljárást

\sqrt[]{10}

-nek az 1100. gyakorlatban² megadott, valamint az abból átalakítással képezhető

3 \sqrt[]{1 + 1 / 9}

kifejezésére, vagyis

x = - 1 / 10

, ill.

x = 1 / 9

esetében. A kiemelt szorzóval mindjárt beszorozva

\begin{matrix} \sqrt[]{10} = \frac{10}{3} \sqrt[]{1 - \frac{1}{10}} = \frac{10}{3} - \frac{1}{6} - \frac{1}{12 \cdot 20} - \frac{1}{12 \cdot 20^{2}} - \frac{5}{48 \cdot 20^{3}} - \frac{7}{48 \cdot 20^{4}} - \frac{7}{32 \cdot 20^{5}}, \\ \sqrt[]{10} = 3 \sqrt[]{1 + \frac{1}{9}} = 3 + \frac{1}{6} - \frac{3}{2 \cdot 18^{2}} + \frac{3}{2 \cdot 18^{3}} - \frac{15}{2 \cdot 18^{4}} + \frac{21}{8 \cdot 18^{5}} - \frac{63}{16 \cdot 18^{6}} . \end{matrix}

Az első két tag összege a két kifejezésben egyenlő. A tagokat

8

tizedesre számítva, kerekítés nélkül:

\begin{matrix} \begin{matrix} + 3, 166 666 66 & 3, 166 666 66 \\ - 0, 004 166 66 & - 0, 004 629 62 \\ - 0, ... 208 33 & + 0, ... 257 20 \\ - 0, ... 013 02 & - 0, ... 017 86 \\ - 0, ... ... 91 & + 0, ... 001 38 \\ \underset{̲}{- 0, ... ... 06} & \underset{̲}{- 0, ... ... 11} \\ 3, 162 277 68, & 3, 162 277 65. \end{matrix} \end{matrix}

A szokásos eljárással³ ugyancsak

3, 162 277 6 ...

adódik (kerekítés nélkül).

Csörgei József (Budapest, Fazekas M. gyak. g. III. o. t.)
Fialovszky Alice (Budapest, Patrona Hungariae g. II. o. t.)
Moson Péter (Budapest, Fazekas M. gyak. g. III. o. t.)

Megjegyzés. A

10 \cdot 37^{2} = 117^{2} + 1

egyenlőség alapján egy más átalakítás

\sqrt[]{10} = (117 / 37) \sqrt[]{1 + 1 / 117^{2}}

. Itt

1 / 117^{2} = 1 / 13 689

hatványai gyorsabban csökkennek, kevesebb tagot elég kiszámítani (4)-ből, viszont az osztások, szorzások valamivel nehézkesebbek. Így

\begin{matrix} \sqrt[]{10} = \frac{117}{37} \sqrt[]{1 + \frac{1}{13 689}} = \frac{117}{37} + \frac{1}{2 \cdot 37 \cdot 117} - \frac{1}{8 \cdot 37 \cdot 117^{3}} + ..., \end{matrix}

már a 3. tag kisebb a megengedett hibakorlátnál. Az első két tagból a

27 379 / 8658

közelítő érték adódik, aminek négyzete

10 + 1 / 74 960 964

Somogyi Árpád (Budapest, Fazekas M. gyak. g. II. o. t.)

¹A megoldás megértéséhez nem nélkülözhetjük e gyakorlat megoldásának átnézését ‐K. M. L. 33 (1966. nov.) 143. o. A továbbiakban az ottani jelöléseket is használjuk:

c_{i}

(

i

-edik közelítő érték),

d_{i}

(hányados,

c_{i}

-nek

i + 1

-edik tagja),

m_{i}

(maradék

c_{i}

megállapítása után). Ugyanezeket a keresett módosításban felső vesszővel különböztetjük meg.

²Lásd ezen számban, 144. o.

³Új olvasóink részére említjük, hogy az 1967/68. évtől kezdve az itt említett eljárás nem szerepel a tankönyvben. ‐ Szerk.