Feladat: 1092. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bajmóczy E. ,  Bálványos Z. ,  Bárdos J. ,  Eszterházy Péter ,  Fiala T. ,  Fialovszky Alice ,  Futó Ilona ,  Hadik R. ,  Hárs László ,  Horváth András ,  Horváth László ,  Kecskeméty K. ,  Környei M. ,  László I. ,  Mitrocsák Anikó ,  Móricz J. ,  Móricz P. ,  Murvai Éva ,  Nagy Dénes ,  Nagy Zoltán (Bp. Bocskai út) ,  Nagy Zsigmond ,  Pataki János ,  Péli Katalin ,  Perémy Gábor ,  Posgay K. ,  Rácz Éva ,  Rákóczi Lajos ,  Somos Endre ,  Soós M. ,  Szilágyi Etelka ,  Takács László ,  Tél T. ,  Vass Erzsébet ,  Zambó Péter 
Füzet: 1967/november, 139 - 140. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kombinatorikai leszámolási problémák, Klasszikus valószínűség, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1966/december: 1092. matematika gyakorlat

Az 1026. gyakorlatból* ismert Pista barátunk új szerencsejátékot ajánlott Sanyinak: ,,Egyik zacskómban az 1-9, a másikban a 10-99 számok vannak 1-1 cédulán. A 10-10 fillér betétünk nyertesét két húzásban döntjük el, mindkétszer 1-1 cédulát házunk a zacskókból és a számokat összeszorozzuk. Az első szorzaton az utolsó számjegyet nézzük, a másodikon pedig az első jegyet. Akkor nyersz, ha a kiszemelt számjegyek mindegyike páros, és ha mindegyik páratlan, különben az enyém a betéted. Az első szorzás után a cédulákat visszatesszük.'' Sanyi csak úgy akart játszani, ha Pista 12 fillért tesz be az ő 10 fillérjével szemben. Erre Pista 11-et ajánlott. Hogyan alakulnak a nyerési esélyek Pista 10, 12 és 11 filléres betéte esetében?
*{Lásd K. M. L. 33 (1966 okt.) 75. o.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Számba vesszük Sanyi és Pista nyerési lehetőségeit. Az első szorzásban elég a tényezők páros, ill. páratlan jellegét tekintenünk (röviden S, ill. T), hiszen a szorzat S, ill. T jellege ezekből egyszerűen adódik: csak akkor T, ha mindkét tényező T. Így a 990=810 lehetséges húzás-pár közül 545=225 páratlan, a többi 585 páros, mert az első zacskóban 5, a másodikban 45 páratlan szám van.
A második szorzat kezdő Sz jegyében az S és T esetek számát táblázatból állapítjuk meg. Felhasználjuk, hogy ha a szorzatok képzésében az E első tényezőt mindaddig változatlanul hagyjuk, míg az M második tényező értékein végighaladunk, akkor Sz összefüggő szakaszokban állandó. Pl. E=4-et M=10-zel, 11-gyel és 12-vel szorozva Sz=4, 13-mal és 14-gyel 5,...,23-tól 24-ig Sz=9, 25-től 49-ig Sz=1,...,75-től 99-ig Sz=3 (Sz=4-et csak M=100-tól vehetné föl ismét). A táblázat E jelű sora és Sz jelű oszlopa közös mezejében az első szám ‐ dőlt számjegyekkel ‐ M-nek az az L legnagyobb értéke, melyre EM még Sz-szel kezdődik, a második szám pedig az ilyen M-ek n-száma. (n értéke egyenlő a vele együtt álló és egy oszloppal előtte álló L értékek különbségével, az 1-es oszlop előttinek véve a 9-es oszlopot; azonban 99 helyett 9-et vesszük kivonandónak.) Az n számok oszloponkénti összegei szerint Sz 147+96+64+38=345 húzás-pár esetében S-jellegű, a további 810-345=465 húzás-pár esetében T jellegű.
Az összes nyerési lehetőségek számát úgy kapjuk, hogy az első húzás minden lehetőségét összekapcsoljuk a második húzás minden megfelelő lehetőségével. Ezek alapján az első és a második szorzat 810810 lehetséges párosításából a Sanyira, ill. Pistára nézve kedvezők száma:

s=585345+225465,t=8102-s.
Elég azonban arányukat tekintenünk s:t=227:259, vagyis Sanyi 227+259=486 húzás közül átlagosan 227-ben várhatja, hogy nyer.
Sz=123456789E=        119102910 3910 4910 5910 6910 7910   8910 99102995014519 524 529 534 539 544 549 536633993313 416 319 323 426 329 333 4449257425 992512 314 217 819 222 324 2539205920 7920 992011 213 215 217 219 2633174916 6617 8317 991611 213 214 116 2728144214 5715 7114 8514 991411 212 114 2824123713 4912 6213 7412 8713 99   1211 212 1922113311 4411 5511 6611 7711 8811 991111 2Összesen:  192147119967564493830

II. Ezek szerint 486 játszmánként Sanyi 48,60Ft-ot fizetne be, Pista pedig vagy ugyanennyit, vagy 12 fillérjével 58,32Ft-ot, 11 fillérjével pedig 53,46Ft-ot. Az együttes 97,20Ft, ill. 106,92Ft, ill. 102,06Ft betétből Sanyi 20, ill. 22, ill. 21 fillérjével ‐ átlagosan ‐
2270,20=45,40Ft-ot,ill.49,94Ft-ot,ill.47,67Ft-ot
kapna vissza. Eszerint 486 játékonként átlagosan 3,20Ft-ot vesztene, ill. 1,34  Ft-ot nyerne, ill. ismét vesztene 0,93Ft-ot. Más szóval 10 játékonként átlagosan az első terv szerint Pista nyerne 6‐7 fillért, az ellenjavaslat szerint Sanyi 2‐3 fillért, Pista második javaslata szerint pedig ismét Pista kb. 2 fillért.
 
Rákóczi Lajos (Sopron, Széchenyi I. g. II. o. t.)