Feladat: 1060. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Szentmiklósi László 
Füzet: 1967/március, 116. oldal  PDF file
Témakör(ök): Irracionális egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1966/május: 1060. matematika gyakorlat

Határozzuk meg az összes olyan (valós) számokat, amelyek kielégítik az alábbi egyenlőtlenséget
11-x-11+x1.(1)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlőtlenség teljesüléséhez szükséges, hogy a gyökjelek alatti kifejezések és a bal oldal is pozitív legyen, vagyis az első nevező kisebb legyen a másodiknál, tehát

0<1-x<1+x
legyen. Az első egyenlőtlenségből x<1, a másodikból x>0, így 0<x<1.
(1)-et a két nevező szorzatával szorozva az egyenlőtlenség iránya nem változik, mert csak a pozitív négyzetgyököt tekintjük.
1+x-1-x1-x2.

A kisebb oldal pozitív, ezért az egyenlőtlenség akkor és csak akkor teljesül, ha a négyzetre emeléssel keletkező egyenlőtlenség teljesül:
2-21-x21-x2.
Tekintsük ezt a z=1-x2>0 számra vonatkozó egyenlőtlenségnek; rendezéssel
0z2+2z-2=(z+1)2-3=(z+1+3)(z+1-3).
A jobb oldal első tényezője pozitív, ezért a másodiknak negatívnak kell lennie, vagy 0-val egyenlőnek:
z+1-3=1-x2+1-30,1-x23-1,1-x24-23,x223-3,x23-3(=0,6812...).



Ezek szerint (1) akkor és csak akkor teljesül, ha 23-3x<1.
 
 Szentmiklósi László (Kiskunhalas, Szilády Á. Gimn., I. o. t.)