Feladat: 1050. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Backhausz Beáta ,  Dobozy Ottó ,  Fialovszky Alice ,  Horváth Sándor 
Füzet: 1966/december, 219 - 221. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Páros gráfok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1966/április: 1050. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Először azokat az adatokat használjuk föl, amelyek az összes résztvevőkre vonatkoznak. Legyen az összes résztvevők száma n, így mindenki n-1 személlyel fogott kezet, és az összes kézfogások száma az n(n-1) szorzat fele, mert a szorzatban minden kézfogást mindkét személynél számításba vettük. Így

n(n-1)2=946,n2-n-1892=0,
ennek pozitív gyöke n=44; negatív gyök ebben a feladatban nem használható.
A nagyobb csoportot küldő A községből 1 táncossal és 1 kísérővel, azaz 2 személlyel voltak jelen többen, mint a B községből, így a B-ből résztvevők teljes száma (44-2)/2=21 személy, az A-belieké pedig 23.
Legyen a jelen levő (összes) fiúk száma F, akkor a lányoké 44-F. Így a közülük összeállítható fiú-leány párok száma
F(44-F)=484,ebbőlF2-44F+484=(F-22)2=0,
tehát F=22, és a leányok száma szintén 22.
Legyen az A-beli fiú-résztvevők száma a, ekkor az A-beli leányoké 23-a, a B-beli fiúké 22-a, a leányoké 21-(22-a)=a-1. Egy A-beli fiú és egy B-beli leány a(a-1)-féleképen állítható párba, a fordított párbaállítások száma (22-a)(23-a), innen
a(a-1)+(22-a)(23-a)=246,a2-23a+130=0.
Az adódó a1=10 és a2=13 gyökökből két lehetőség jön szóba. Vagy a fiúk összetétele volt ez: A-beli 10 és B-beli 12 ‐ és ekkor a leányoké: A-beli 13 és B-beli 9, ‐ vagy fordítva. (Ez előre látható volt a fiúk és leányok össz-létszámának egyenlő voltából, valamint abból, hogy minden ilyen párbaállításban a fiú, leány szavakat felcserélve újra helyes párt kapunk.)
Áttérünk a csak a táncosokra vonatkozó adatok fölhasználására. Jelöljük az összes fiú-táncosok számát f-fel, így a leány-táncosok száma f-1. Mivel a belőlük összeállítható táncos párok száma
f(f-1)=306,f2-f-306=0,
azért f=18 (a negatív gyök itt sem használható). Eszerint 17 leány táncos volt, összesen 35 táncos, és a kísérők száma 44-35=9. Továbbá a B községből való volt (35-1)/2=17 táncos és 21-17=4 kísérő, így pedig az A csoport 18 táncosból és 5 kísérőből állt. Azt is megtudtuk ebből, hogy kísérők közül 22-18=4 fiú és 9-4=5 leány.
Legyen az A-beli fiú táncosok száma t, ekkor az A-beli leányoké 18-t, a B-beli fiúké f-t=18-t (véletlen egyezés), a B-beli leányoké pedig 17-(18-t)=t-1. Így az A csoportban t(18-t) táncos párt lehetett összeállítani, a B csoportban pedig (18-t)(t-1) párt. Ezek összegét ismerjük:
t(18-t)+(18-t)(t-1)=-2t2+37t-18=150,
2t2-37t+168=0.
Ennek az egyenletnek két pozitív szám tesz eleget, 8 és 10,5, az utóbbi azonban itt nem felel meg, tehát A községből 8 fiú és 10 leány táncos volt jelen, B-ből pedig 10 fiú és 7 leány-táncos.
Eszerint a fenti a2=13-ból kapott összeállítás nem lehetséges, hiszen abban a B-beli fiú résztvevők száma kevesebb, mint a B-beli fiú táncosoké. Most már a kísérők faluk és nemek szerinti összetételét megkapjuk, ha a táncosok adatait kivonjuk az összes résztvevők eloszlására maradt egyetlen lehetőség adataiból.
Mindezek szerint az A csoport 8 táncos fiúból, 10 táncos leányból, 2 kísérő fiúból és 3 kísérő leányból állt, a B csoportban pedig ugyanezek a számok rendre 10, 7, 2, 2.
 
Dobozy Ottó (Budapest, Apáczai Csere J. Gyak. g. II. o. t.)

Horváth Sándor (Budapest, I. István g. II. o. t.)

 
II. megoldás. Először azokat az adatokat használjuk fel, amelyek csak a táncosokra vonatkoznak. Legyen a két csoport táncos leányainak együttes száma x, így az összes táncos fiúké x+1. Ekkor a táncosokból alakítható párok száma, tekintet nélkül a falujukra,
x(x+1)=306.
Eszerint 306-ot két szomszédos természetes szám szorzatára kell bontanunk. Törzsszámhatványok szorzataként 306=2⋅32⋅17, így két-tényezős szorzat-előállításai  1⋅306=2⋅153=3⋅102=6⋅51=9⋅34=17⋅18, közülük csak az utolsó felel meg. Eszerint táncos leány 17 volt, táncos fiú 18, együtt 35-en voltak. S mivel a nagyobb A-csoportban 1-gyel több volt a táncos, A-ból 18-an, B-ből 17-en táncoltak a műsorban.
Legyen a B-beli táncos leányok száma y, ekkor az A-belieké 17-y, a táncos fiúké pedig B-ben 17-y, A-ban y+1. Így az ugyanazon falubeli táncosok párba állítási lehetőségeinek száma
y(17-y)+(17-y)(y+1)=33y-2y2+17=150,
y(33-2y)=133.
Eszerint 133-at úgy kell felbontanunk két természetes szám szorzatára, hogy az egyik tényező 2-szeresét a másikhoz adva 33-at kapjunk. Mivel 133=1⋅133=7⋅19 (az utóbbiban mindkét tényező prímszám), könnyű belátni, hogy csak y=7 felel meg. A B-csoportban 7 leány és 10 fiú táncolt, az A-ban pedig 10 leány és 8 fiú.
Jelöljük az összes leányok számát z-vel, az összes fiúkét u-val, ekkor egyrészt zu=484, másrészt z≥17, u≥18. A 484=22⋅112 számot ennek megfelelően kell két természetes szám szorzatára bontanunk. Ennek egyedüli lehetősége z=22, u=22.
Így a kísérők között z-17=5 leány volt, és u-18=4 fiú. Együtt 9-en voltak, közülük 1-gyel több volt az A-beli, tehát A-ból 5, B-ből 4 kísérő volt.
Legyen az A-beli kísérők közül v leány, ekkor 5-v a fiú, a B-beliek közül 5-v a leány, és v-1 a fiú. Továbbá A-ban az összes leányok száma 10+v, az összes fiúké 13-v, B-ben ugyanezek a számok 12-v, ill. 9+v. Így egy A-beli leány és egy B-beli fiú párba állítására (10+v)(9+v) lehetőség van, a fordított párosra pedig (12-v)(13-v). Innen
(10+v)(9+v)+(12-v)(13-v)=246,v(v-3)=0.
Nem lehet azonban v=0, mert a B-beli kísérő fiúk v-1 száma alapján v legalább 1, így v=3, ebből már megkapjuk az I. megoldásban talált összeállításokat.
Nem használtuk azonban fel a 946 kézfogásra vonatkozó adatot, ezért a megoldást csak akkor fogadhatjuk el, ha eredményeink teljesítik ezt az előírást. z=u=22-ből az összes jelenlevők száma 44, mindenki 43 személlyel fogott kezet, így a kézfogások száma 44⋅43/2, hiszen a szorzatban minden egyes kézfogást mindkét személynél számításba vettünk. Ez a szám 946, megfelelő. ‐ Az utolsó adat megadása fölösleges volt.
 
Fialovszky Alice (Budapest, Patrona Hungariae g. I. o. t.)

Backhausz Beáta (Budapest, Ságvári E. Gyak. g. I. o. t.)