Kezdőlap


Feladat:	1004. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Agárdy Gyula , Gáspár András
Füzet:	1966/április, 171 - 172. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, Paraméteres egyenlőtlenségek, Gyakorlat, Nevezetes azonosságok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/október: 1004. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Beszorzások, négyzetre emelés és összevonás után a bal oldalon álló kifejezés $a$ , majd $b$ hatványai szerint átrendezve így alakul

\begin{matrix} a^{2} (b c + b d + c d) + a (b^{2} c + b^{2} d + b c^{2} + 3 b c d + b d^{2} + c^{2} d + c d^{2}) + \\ + (b^{2} c d + b c^{2} d + b c d^{2}) . \end{matrix}

A jobb oldali nagy zárójelben ez áll:

\begin{matrix} a b + a c + a d + b c + b d + c d . \end{matrix}

A négyzetre emelés során képezett kétszeres szorzatok az

1 / 2

-del való szorzás után éppen a bal oldali kifejezést adják, ennélfogva a kérdéses egyenlőtlenség jobb és bal oldalának különbsége egyenlő a jobb oldal tiszta négyzetes tagjai összegének felével:

\begin{matrix} \frac{1}{2} (a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} + b^{2} d^{2} + c^{2} d^{2}) . \end{matrix}

Ez sohasem negatív, tehát az egyenlőtlenség helyes. Egyenlőség csak akkor áll fenn a két oldal között, ha

a

b

c

d

közül legalább háromnak az értéke

0

Agárdy Gyula (Budapest, Piarista g. II. o. t.)

Megjegyzés. Feladatunk kapcsolatba hozható az 1403. feladatnak a negyedfokú egyenletekre vonatkozó részével, ha

a

b

c

d

-vel egy negyedfokú egyenlet gyökeit jelöljük (és az 1403. feladatban együtthatókként más betűket használunk). Az (1)-ben fellépő rész-kifejezések a gyököknek szimmetrikus függvényei. A kapcsolat felkutatását és egyenlőtlenségünknek ezen az úton való bizonyítását ajánljuk az érdeklődőknek.

Gáspár András (Budapest, vasútgép. t. III. o. t.)