Feladat: 893. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Arányi P. ,  Babai László ,  Bálint Z. ,  Bárány I. ,  Baranyai Zs. ,  Baróthy B. ,  Bély M. ,  Berényi J. ,  Bóta Károly ,  Csanádi G. ,  Deák J. ,  Dobozy Ottó ,  Domokos László ,  Domokos Zsuzsanna ,  Erdődy Gabriella ,  Forgács Péter ,  Füvesi I. ,  Földváry G. ,  Gárdos Eszter ,  Gömböcz L. ,  Halász F. ,  Havas János ,  Herényi István ,  Héthelyi F. ,  Jereb L. ,  Kafka Péter ,  Király L. ,  Kiss A. ,  Laborczi Zoltán ,  Laczkovich Miklós ,  Lelkes András ,  Lévai Ferenc ,  Madarász Kornélia ,  Major P. (Bp. Fazekas g.) ,  Molnár G. ,  Pénzes B. ,  Pintér J. ,  Pláveczky Gy. ,  Pór G. ,  Recski András ,  Sarkadi Nagy István ,  Sipos L. ,  Soltész P. ,  Stangl E. ,  Staub Klára ,  Stickl I. ,  Surányi László ,  Szász András ,  Szász Anna ,  Szeidl László ,  Szikora J. ,  Tényi G. ,  Varjas András ,  Verdes Sándor ,  Vesztergombi Katalin ,  Vizvári B. ,  Zeisler J. 
Füzet: 1964/november, 146 - 148. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Lánctörtek, Számsorozatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1964/február: 893. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. A vizsgálandó kifejezést a képezési előírás alapján kifejezzük a sorozat-pár 1-gyel korábbi tagjaival:

xk2-3yk2=(4-3)xk-12+(12-12)xk-1yk-1+(9-12)yk-12==xk-12-3yk-12.
Eszerint a kifejezés értéke minden k-ra annyi, mint az x1, y1 számpárra:
xk2-3yk2=x12-3y12=1.(2)

II. Sorozataink első 6‐6 tagja:
k=1, 2, 3, 4, 5, 6;xk=2, 7, 26, 97, 362, 1351;yk=1, 4, 15, 56, 209, 780;   
másrészt a d=3-1 számnak a 830. gyakorlatban talált lánctört kifejtése:
d=11+12+11+12+11+....(3)
Mivel (2)-ből
(xkyk)2=3+1yk2,(4)
tehát xk/yk annál jobb (felső) közelítő értéket ad 3-ra, minél nagyobb yk, így várható, hogy az ugyancsak 3-ra közelítő értéket adó dj+1 közelítő törtek lesznek szoros kapcsolatban sorozatainkkal. Ezek az értékek j=1,2,...,12-re
21,53,74,1911,2615,7141,9756,265153,362209,989571,1351780,36912131.
Látjuk, hogy a páratlan sorszámúak rendre megegyeznek az xk/yk hányadossal k=1,2,...,6-ra. Ezekre a k értékekre tehát
d2k-1=xkyk-1=xk-ykyk.(5)
Az itt a számlálóban fellépő különbségek szerepelnek mindig a megelőző (d2(k-1)) közelítő tört nevezőjében is. A páros sorszámú közelítő törtek számlálója pedig mindig 2-szerese az előző páratlan sorszámú közelítő tört nevezőjének, az y-sorozat megfelelő tagjának, pl. a d4+1=19/11-ből adódó d4=8/11-ben a számláló 2-szerese a d3 nevezőjének. Végül azt is látjuk, hogy az xk-yk különbség k=2-től kezdve egyenlő az x és y sorozatok előző sorszámú tagjainak összegével:
7-4=2+1,26-15=7+4,...,1351-780=362+209.

Ezek szerint a következő további összefüggéseket látjuk:
xk+1-yk+1=xk+yk,hak=1,2,3,4,5,(6)d2k=2ykxk+yk,hak=1,2,3,4,5,6.(7)


A (7) összefüggés felírásában már felhasználtuk (5)-öt. ‐ Megmutatjuk, hogy ezek minden további (pozitív egész) k-ra érvényesek. (6) helyessége közvetlenül adódik (1)-ből, k helyére k+1-et írva:
xk+1-yk+1=(2xk+3yk)-(xk+2yk)=xk+yk.

Tegyük fel, hogy (5) érvényes a k indexre, írjunk a jobb oldalon k helyett k+1-et, és képezzük a kapott tört kifejezés lánctört kifejtését (1) figyelembevételével a harmadik nevezőig:
xk+1-yk+1yk+1=xk+ykxk+2yk=1xk+2ykxk+yk=11+ykxk+yk==11+1xk+ykyk=11+12+xk-ykyk=11+12+d2k-1.


Az utolsó átalakításban felhasználtuk, hogy a második nevezőben az egész számhoz hozzáadandó kifejezés (5) jobb oldala. Az utolsó alak valóban a (3) lánctört-kifejtés 2k+1-edik közelítő törtje: d2k+1. Ezt ugyanis úgy kapjuk, hogy a 2k+1-edik nevezőben elhagyjuk az egész számhoz hozzáadandó számot ‐ pl. d1=11 ‐, másrészt rövidítve éppen a kapott utolsó alakban írhatjuk: az első két nevező kiírása után 1-es rész-nevező következik, a további rész-nevezők váltakozva 1 és 2, és számuk[1]* (2k+1)-2=2k-1. Ha tehát (5) érvényes valamely k természetes számra, akkor a következő természetes számra is érvényes, azaz minden természetes számra.
Végül feltéve (7) érvényességét a k indexre, és a jobb oldalon k helyén k+1-et írva az előzőkhöz hasonlóan kapjuk, hogy (7) minden természetes k számra érvényes:
2yk+1xk+1+yk+1=2xk+4yk3xk+5yk=13xk+5yk2xk+4yk=11+xk+yk2xk+4yk==11+12xk+4ykxk+yk=11+12+2ykxk+yk=11+12+d2k=d2(k+1).


Ezzel befejeztük annak bizonyítását, hogy megfigyeléseink minden k-ra érvényesek.
 
 Herényi István (Budapest, I. István g. II. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. A (4) összefüggés mutatja, hogy xk/yk=d2k-1+1 fölülről közelíti meg 3-at. Hasonlóan adódik, hogy d+1 kifejtése páros indexű közelítő törtjeinek négyzetei mindig kisebbek 3-nál, de az eltérés k növekedésével csökken; (7) és (2) szerint ugyanis
3-(d2k+1)2=3-(xk+3ykxk+yk)2=2(xk2-3yk2)(xk+yk)2=2(xk+yk)2.

2. Kapcsolatban áll feladatunk az 1219. feladattal is.* Eredményeinket alkalmasan felhasználva további egész oldalhármasokat írhatunk fel.
*Ezt a felismerést már a 830. gyakorlatban, c3, c4, d3, d4 kiszámításában felhasználtuk egyszerűsítésként.

*K.M.L. 27 (1963/11) 121.o.