Kezdőlap


Feladat:	893. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Arányi P. , Babai László , Bálint Z. , Bárány I. , Baranyai Zs. , Baróthy B. , Bély M. , Berényi J. , Bóta Károly , Csanádi G. , Deák J. , Dobozy Ottó , Domokos László , Domokos Zsuzsanna , Erdődy Gabriella , Forgács Péter , Füvesi I. , Földváry G. , Gárdos Eszter , Gömböcz L. , Halász F. , Havas János , Herényi István , Héthelyi F. , Jereb L. , Kafka Péter , Király L. , Kiss A. , Laborczi Zoltán , Laczkovich Miklós , Lelkes András , Lévai Ferenc , Madarász Kornélia , Major P. (Bp. Fazekas g.) , Molnár G. , Pénzes B. , Pintér J. , Pláveczky Gy. , Pór G. , Recski András , Sarkadi Nagy István , Sipos L. , Soltész P. , Stangl E. , Staub Klára , Stickl I. , Surányi László , Szász András , Szász Anna , Szeidl László , Szikora J. , Tényi G. , Varjas András , Verdes Sándor , Vesztergombi Katalin , Vizvári B. , Zeisler J.
Füzet:	1964/november, 146 - 148. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Lánctörtek, Számsorozatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/február: 893. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. A vizsgálandó kifejezést a képezési előírás alapján kifejezzük a sorozat-pár 1-gyel korábbi tagjaival:

\begin{matrix} x_{k}^{2} - 3 y_{k}^{2} & = (4 - 3) x_{k - 1}^{2} + (12 - 12) x_{k - 1} y_{k - 1} + (9 - 12) y_{k - 1}^{2} = \\ = x_{k - 1}^{2} - 3 y_{k - 1}^{2} . \end{matrix}

Eszerint a kifejezés értéke minden

k

-ra annyi, mint az

x_{1}

y_{1}

számpárra:

\begin{matrix} x_{k}^{2} - 3 y_{k}^{2} = x_{1}^{2} - 3 y_{1}^{2} = 1. \end{matrix}

(2)

II. Sorozataink első 6‐6 tagja:

\begin{matrix} \begin{matrix} k = 1, & 2, & 3, & 4, & 5, & 6; \\ x_{k} = 2, & 7, & 26, & 97, & 362, & 1351; \\ y_{k} = 1, & 4, & 15, & 56, & 209, & 780; \end{matrix} \end{matrix}

másrészt a

d = \sqrt[]{3} - 1

számnak a 830. gyakorlatban talált lánctört kifejtése:

\begin{matrix} d = \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + ...}}}}} . \end{matrix}

(3)

Mivel (2)-ből

\begin{matrix} {(\frac{x_{k}}{y_{k}})}^{2} = 3 + \frac{1}{y_{k}^{2}}, \end{matrix}

(4)

tehát

x_{k} / y_{k}

annál jobb (felső) közelítő értéket ad

\sqrt[]{3}

-ra, minél nagyobb

y_{k}

, így várható, hogy az ugyancsak

\sqrt[]{3}

-ra közelítő értéket adó

d_{j} + 1

közelítő törtek lesznek szoros kapcsolatban sorozatainkkal. Ezek az értékek

j = 1, 2, ..., 12

-re

\begin{matrix} \frac{2}{1}, \frac{5}{3}, \frac{7}{4}, \frac{19}{11}, \frac{26}{15}, \frac{71}{41}, \frac{97}{56}, \frac{265}{153}, \frac{362}{209}, \frac{989}{571}, \frac{1351}{780}, \frac{3691}{2131} . \end{matrix}

Látjuk, hogy a páratlan sorszámúak rendre megegyeznek az

x_{k} / y_{k}

hányadossal

k = 1, 2, ..., 6

-ra. Ezekre a

k

értékekre tehát

\begin{matrix} d_{2 k - 1} = \frac{x_{k}}{y_{k}} - 1 = \frac{x_{k} - y_{k}}{y_{k}} . \end{matrix}

(5)

Az itt a számlálóban fellépő különbségek szerepelnek mindig a megelőző

(d_{2 (k - 1)})

közelítő tört nevezőjében is. A páros sorszámú közelítő törtek számlálója pedig mindig

2

-szerese az előző páratlan sorszámú közelítő tört nevezőjének, az

y

-sorozat megfelelő tagjának, pl. a

d_{4} + 1 = 19 / 11

-ből adódó

d_{4} = 8 / 11

-ben a számláló

2

-szerese a

d_{3}

nevezőjének. Végül azt is látjuk, hogy az

x_{k} - y_{k}

különbség

k = 2

-től kezdve egyenlő az

x

és

y

sorozatok előző sorszámú tagjainak összegével:

\begin{matrix} 7 - 4 = 2 + 1, 26 - 15 = 7 + 4, ..., 1351 - 780 = 362 + 209. \end{matrix}

Ezek szerint a következő további összefüggéseket látjuk:

\begin{matrix} x_{k + 1} - y_{k + 1} = x_{k} + y_{k}, ha k = 1, 2, 3, 4, 5, & (6) \\ d_{2 k} = \frac{2 y_{k}}{x_{k} + y_{k}}, ha k = 1, 2, 3, 4, 5, 6. & (7) \end{matrix}

A (7) összefüggés felírásában már felhasználtuk (5)-öt. ‐ Megmutatjuk, hogy ezek minden további (pozitív egész)

k

-ra érvényesek. (6) helyessége közvetlenül adódik (1)-ből,

k

helyére

k + 1

-et írva:

\begin{matrix} x_{k + 1} - y_{k + 1} = (2 x_{k} + 3 y_{k}) - (x_{k} + 2 y_{k}) = x_{k} + y_{k} . \end{matrix}

Tegyük fel, hogy (5) érvényes a

k

indexre, írjunk a jobb oldalon

k

helyett

k + 1

-et, és képezzük a kapott tört kifejezés lánctört kifejtését (1) figyelembevételével a harmadik nevezőig:

\begin{matrix} \frac{x_{k + 1} - y_{k + 1}}{y_{k + 1}} = \frac{x_{k} + y_{k}}{x_{k} + 2 y_{k}} = \frac{1}{\frac{x_{k} + 2 y_{k}}{x_{k} + y_{k}}} = \frac{1}{1 + \frac{y_{k}}{x_{k} + y_{k}}} = \\ = \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{x_{k} + y_{k}}{y_{k}}}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{x_{k} - y_{k}}{y_{k}}}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + d_{2 k - 1}}} . \end{matrix}

Az utolsó átalakításban felhasználtuk, hogy a második nevezőben az egész számhoz hozzáadandó kifejezés (5) jobb oldala. Az utolsó alak valóban a (3) lánctört-kifejtés

2 k + 1

-edik közelítő törtje:

d_{2 k + 1}

. Ezt ugyanis úgy kapjuk, hogy a

2 k + 1

-edik nevezőben elhagyjuk az egész számhoz hozzáadandó számot ‐ pl.

d_{1} = \frac{1}{1}

‐, másrészt rövidítve éppen a kapott utolsó alakban írhatjuk: az első két nevező kiírása után

1

-es rész-nevező következik, a további rész-nevezők váltakozva

1

és

2

, és számuk[1]^{$^{*}$}

(2 k + 1) - 2 = 2 k - 1

. Ha tehát (5) érvényes valamely

k

természetes számra, akkor a következő természetes számra is érvényes, azaz minden természetes számra.
Végül feltéve (7) érvényességét a

k

indexre, és a jobb oldalon

k

helyén

k + 1

-et írva az előzőkhöz hasonlóan kapjuk, hogy (7) minden természetes

k

számra érvényes:

\begin{matrix} \frac{2 y_{k + 1}}{x_{k + 1} + y_{k + 1}} = \frac{2 x_{k} + 4 y_{k}}{3 x_{k} + 5 y_{k}} = \frac{1}{\frac{3 x_{k} + 5 y_{k}}{2 x_{k} + 4 y_{k}}} = \frac{1}{1 + \frac{x_{k} + y_{k}}{2 x_{k} + 4 y_{k}}} = \\ = \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{2 x_{k} + 4 y_{k}}{x_{k} + y_{k}}}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{2 y_{k}}{x_{k} + y_{k}}}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + d_{2 k}}} = d_{2 (k + 1)} . \end{matrix}

Ezzel befejeztük annak bizonyítását, hogy megfigyeléseink minden

k

-ra érvényesek.

Herényi István (Budapest, I. István g. II. o. t.)

Megjegyzések. 1. A (4) összefüggés mutatja, hogy

x_{k} / y_{k} = d_{2 k - 1} + 1

fölülről közelíti meg

\sqrt[]{3}

-at. Hasonlóan adódik, hogy

d + 1

kifejtése páros indexű közelítő törtjeinek négyzetei mindig kisebbek

3

-nál, de az eltérés

k

növekedésével csökken; (7) és (2) szerint ugyanis

\begin{matrix} 3 - {(d_{2 k} + 1)}^{2} = 3 - {(\frac{x_{k} + 3 y_{k}}{x_{k} + y_{k}})}^{2} = \frac{2 (x_{k}^{2} - 3 y_{k}^{2})}{{(x_{k} + y_{k})}^{2}} = \frac{2}{{(x_{k} + y_{k})}^{2}} . \end{matrix}

2. Kapcsolatban áll feladatunk az 1219. feladattal is.^{$^{*}$} Eredményeinket alkalmasan felhasználva további egész oldalhármasokat írhatunk fel.

^{$^{*}$}Ezt a felismerést már a 830. gyakorlatban,

c_{3}

c_{4}

d_{3}

d_{4}

kiszámításában felhasználtuk egyszerűsítésként.

^{$^{*}$}K.M.L. 27 (1963/11) 121.o.