Feladat: 864. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Kelemen Gábor 
Füzet: 1964/április, 170. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek nevezetes tételei, Mértani helyek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1963/október: 864. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Azok a P pontok, amelyekre PC1 az AB egyenes mindkét irányával legalább 60∘-os szöget zár be, az A1C1 és B1C1 egyenesek közti két 60∘-os szögtartományt töltik ki, a határokat is beleértve, de kihagyva a C1 pontot. Hasonlóan a PA1 és BC egyenesek közti mindkét szög legalább 60∘-os az A1B1 és A1C1 közti két 60∘-os szögtartományban, elhagyva belőle A1-et, a PB1 és a CA egyenes közti mindkét szög pedig az A1B1 és B1C1 közti két 60∘-os szögtartományban (B1-et kivéve) lesz legalább 60∘-os.

 
 
1. ábra
 

Ez a három szögtartománypár együtt lefedi az egész síkot (beleértve az A1, B1, C1 pontokat is), így bármely P pontra a feladatban szereplő három szög közt mindig van olyan, amelyik legalább 60∘-os, s így ugyanez áll a legnagyobbikra is.
 
 Kelemen Gábor (Szeged, Rózsa F. g. III. o. t.)
 
 
2. ábra
 

Megjegyzés. Hasonló meggondolással látható, hogy ha tetszés szerinti ABC háromszögből indulunk ki, melynek α, β, γ szögeire α≤β≤γ, akkor 60∘ helyett α alsó korláttal igaz az állítás (2. ábra).