Kezdőlap


Feladat:	830. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bárány Imre , Bóta Károly , Csirik János , Dévaj Ágnes , Dobozy Ottó , Ferenczi György , Földes Antónia , Haáder Lea , Hoffmann P. , Huhn A. , Huhn András , Káldor Éva , Kócza Éva , Körner János , Lehel Csaba , Lovász László , Lux I. , Makai Endre , Makk Zsuzsa , Márki László , Marosi Judit , Mátrai M. , Nagy Zsuzsa , Pelikán József , Pomozi I. , Simonovits András , Somos Péter , Szabó M. , Székely Gábor , Szentai Judit , Szilágyi Tivadar , Tamás Endre , Veres Ferenc
Füzet:	1963/november, 151 - 153. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Lánctörtek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/március: 830. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A megadott (0 és 1 közé eső) számokat

\begin{matrix} \frac{1}{a_{1} + \frac{1}{a_{2} + ⋱ + \frac{1}{a_{k}}}} \end{matrix}

(1)

alakú számokkal akarjuk megközelíteni, ahol az

a_{i}

-k természetes számok; így az utánuk következő törtek 1-nél kisebbek.
a) A

\sqrt[]{2} - 1

szám esetében az első nevezőben szereplő egésznek eszerint azt a legnagyobb egész számot, a nevező ún. egész részét kell választani, amely még nem nagyobb a szám reciprokánál, majd a kettő különbségével járni el hasonló módon:

\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt[]{2} - 1} = \sqrt[]{2} + 1, 2 < \sqrt[]{2} + 1 < 3. \end{matrix}

Így az első közelítő tört

1 / 2

, és

\begin{matrix} \sqrt[]{2} - 1 = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt[]{2} - 1}} = \frac{1}{\sqrt[]{2} + 1} = \frac{1}{2 + (\sqrt[]{2} - 1)} . \end{matrix}

A nevezőben ismét

\sqrt[]{2} - 1

lépett fel maradéknak, így a 2-es szám fog vég nélkül ismétlődni:

\begin{matrix} \sqrt[]{2} - 1 = \frac{1}{2 + (\sqrt[]{2} - 1)} = \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + (\sqrt[]{2} - 1)}} = \\ = \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + (\sqrt[]{2} - 1)}}} = \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + (\sqrt[]{2} - 1)}}}} = ... \end{matrix}

Világos, hogy az eljárás semelyik lépésnél sem fejeződhetik be. Ez igaz különben minden irracionális számra, hiszen egy (1) alakú szám közönséges törtté alakítható, tehát racionális szám, nem lehet egyenlő egy irracionális számmal.
A

c = \sqrt[]{2} - 1

szám első négy közelítő törtje

\begin{matrix} c_{1} = \frac{1}{2}, c_{2} = \frac{1}{2 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{5}, \\ c_{3} = \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{2 + c_{2}} = \frac{1}{2 + \frac{2}{5}} = \frac{5}{12}, \\ c_{4} = \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}}} = \frac{1}{2 + c_{3}} = \frac{1}{2 + \frac{5}{12}} = \frac{12}{29} . \end{matrix}

Tizedes alakban

c_{1} = 0, 5

c_{2} = 0, 4

c_{3} = 0, 4166 ...

c_{4} = 0, 4137 ...

, továbbá

c = 0, 4142 ...

, ezek szerint

\begin{matrix} c_{2} < c_{4} < c < c_{3} < c_{1}, \end{matrix}

vagyis a közelítő törtek váltakozva felülről és alulról közelítik

c

-t, egyre kisebb eltéréssel:

\begin{matrix} c_{1} - c < 0, 09, c - c_{2} < 0, 02, c_{3} - c < 0, 003, c - c_{4} < 0, 0006. \end{matrix}

Célszerűbb azonban a közönséges tört alakot használni a becsléshez. A számláló gyöktelenítesével

c_{4}

-nek

c

-től való eltérése

\begin{matrix} c - c_{4} = \sqrt[]{2} - 1 - \frac{12}{29} = \frac{29 \sqrt[]{2} - 41}{29} = \frac{1}{29 (29 \sqrt[]{2} + 41)}, \end{matrix}

pozitív, tehát

\begin{matrix} c_{4} < c, \frac{12}{29} < \sqrt[]{2} - 1. \end{matrix}

Ha ennek alapján az eltérés

\begin{matrix} \frac{1}{29 [29 (\sqrt[]{2} - 1) + 70]} \end{matrix}

alakjában

29 (\sqrt[]{2} - 1)

-et a kisebb 12-vel pótoljuk, kisebb nevezőt veszünk, az eltérésnél nagyobb számot kapunk, más szóval az eltérésnek egy felső korlátját, amely racionális szám, könnyebben áttekinthető. A nevező tényezőinek további alkalmas csökkentésével kerek számot is adhatunk felső korlátnak:

\begin{matrix} c - c_{4} < \frac{1}{29 (12 + 70)} < \frac{1}{25 \cdot 80} = \frac{1}{2000} = 0, 0005. \end{matrix}

b) Hasonlóan a

\begin{matrix} \sqrt[]{3} - 1 = \frac{2}{\sqrt[]{3} + 1} = \frac{1}{\frac{\sqrt[]{3} + 1}{2}} \end{matrix}

átalakításban

1 < \sqrt[]{3} < 2

alapján a nevező egész része 1, és így

\begin{matrix} \sqrt[]{3} - 1 = \frac{1}{1 + \frac{\sqrt[]{3} - 1}{2}} . \end{matrix}

Az átalakítandó számot

d

-vel jelölve

\begin{matrix} d = \frac{1}{1 + \frac{d}{2}} . \end{matrix}

Írjuk a jobb oldali nevezőben fellépő

d

helyére a vele egyenlő jobb oldalt és ismételjük ezt, míg a kifejtésben négy törtvonalunk lesz:

\begin{matrix} d = \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + d}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{d}{2}}}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + d}}}} . \end{matrix}

Látjuk, hogy az egymás utáni nevezők első tagja váltakozva 1 és 2; másrészt az eljárás ugyanazért nem fejeződhet be, mint az a) esetben.
Az első négy közelitő tört:

\begin{matrix} d_{1} = 1, d_{2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{3}, d_{3} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + d_{1}}} = \frac{3}{4}, \\ d_{4} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + d_{2}}} = \frac{8}{11} . \end{matrix}

d

-nek

d_{4}

-től való eltérése

\begin{matrix} d - d_{4} = \sqrt[]{3} - 1 - \frac{8}{11} = \frac{11 \sqrt[]{3} - 19}{11} = \frac{2}{11 (11 \sqrt[]{3} + 19)} = \\ = \frac{2}{11 [11 (\sqrt[]{3} - 1) + 30]} \end{matrix}

pozitív, ezért

\begin{matrix} d = \sqrt[]{3} - 1 > \frac{8}{11} = d_{4}, 11 (\sqrt[]{3} - 1) > 8, és ismét \\ d - d_{4} < \frac{2}{11 (8 + 30)} = \frac{1}{209} < \frac{1}{200} = 0, 005. \end{matrix}

Valóban, a tizedes alakú

d = 0, 7320 ...

és

d_{4} = 0, 7272 ...

értékekből is

d - d_{4} < 0, 7321 - 0, 7272 = 0, 0049

Marosi Judit (Budapest, Berzsenyi D. lg. III. o. t.)