Kezdőlap


Feladat:	819. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dévaj Ágnes
Füzet:	1963/december, 216. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/február: 819. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $k = 1$ esetben (2) és $s$ meghatározása alapján

\begin{matrix} p'^{k} + q'^{k} + r'^{k} = p' + q' + r = 6 s - (p + q + r) = p + q + r, \end{matrix}

ugyanis

\begin{matrix} s = \frac{p + q + r}{3}, \end{matrix}

(4)

vagyis az állítás helyes.

k = 2

esetén pedig

\begin{matrix} p'^{2} + q'^{2} + r'^{2} = 3 \cdot 4 s^{2} - 4 s (p + q + r) + p^{2} + q^{2} + r^{2} . \end{matrix}

Itt a jobb oldal első két tagjának összege (4) felhasználásával

\begin{matrix} 4 s [3 s - (p + q + r)] = 0, \end{matrix}

tehát az állítás ebben az esetben is igaz.
Nem kellett felhasználnunk a feltevések (1) képleteit, ezért (3) tetszés szerinti

p

q

r

számokból képzett

s

és

p'

q'

r'

értékekkel érvényes.

Dévaj Ágnes (Sárvár, Tinódi S. g. II. o. t.),

Megjegyzés. Az (1) összefüggések felesleges volta előre várható, hiszen

a

b

c

n

nem szerepelnek (2) és (3)-ban, viszont bármilyen

p

q

r

mellett, ha pl. még

n

-et is megválasztjuk, meghatározható olyan

a

b

c

szám, amelyre (1) teljesül, ezt a feltételt

a

b

c

-re vonatkozó egyenletrendszernek tekintve:

\begin{matrix} 3 (n + 2) a & = (n + 1) (p + q + r) - 3 (n + 2) p, \\ 3 (n + 2) b & = (n + 3) (p + q + r) - 3 (n + 2) q, \\ 3 (n + 2) c & = (n + 3) (p + q + r) - 3 (n + 2) r . \end{matrix}

Így

n

-nek bármely

- 2

-től különböző érték választható.