Feladat: 819. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Dévaj Ágnes 
Füzet: 1963/december, 216. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szorzat, hatványozás azonosságai, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1963/február: 819. matematika gyakorlat

Tetszés szerinti a, b, c, n számokból képezzük a
p=na+(n+1)b+(n+1)c,q=(n+3)a+(n+2)b+(n+3)c,(1)r=(n+3)a+(n+3)b+(n+2)c
számhármast, majd a
p'=2s-p,q'=2s-q,r'=2s-r(2)
számhármast, ahol s a p, q, r számok számtani közepe. Mutassuk meg, hogy a
pk+qk+rk=p'k+q'k+r'k(3)
egyenlőség fennáll, ha k=1,2.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A k=1 esetben (2) és s meghatározása alapján

p'k+q'k+r'k=p'+q'+r=6s-(p+q+r)=p+q+r,
ugyanis
s=p+q+r3,(4)
vagyis az állítás helyes. k=2 esetén pedig
p'2+q'2+r'2=34s2-4s(p+q+r)+p2+q2+r2.
Itt a jobb oldal első két tagjának összege (4) felhasználásával
4s[3s-(p+q+r)]=0,
tehát az állítás ebben az esetben is igaz.
Nem kellett felhasználnunk a feltevések (1) képleteit, ezért (3) tetszés szerinti p, q, r számokból képzett s és p', q', r' értékekkel érvényes.
 
 Dévaj Ágnes (Sárvár, Tinódi S. g. II. o. t.),
 
Megjegyzés. Az (1) összefüggések felesleges volta előre várható, hiszen a, b, c, n nem szerepelnek (2) és (3)-ban, viszont bármilyen p, q, r mellett, ha pl. még n-et is megválasztjuk, meghatározható olyan a, b, c szám, amelyre (1) teljesül, ezt a feltételt a, b, c-re vonatkozó egyenletrendszernek tekintve:
3(n+2)a=(n+1)(p+q+r)-3(n+2)p,3(n+2)b=(n+3)(p+q+r)-3(n+2)q,3(n+2)c=(n+3)(p+q+r)-3(n+2)r.
Így n-nek bármely -2-től különböző érték választható.