Kezdőlap


Feladat:	805. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baranyai Ágnes
Füzet:	1963/november, 143 - 144. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/december: 805. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a szóban forgó két egész szám $n$ és $n + 2$ . Négyzetgyökük egész része meg kell hogy egyezzék, mert különben a két négyzetgyök 1-nél többel különböznék, pedig

\begin{matrix} \sqrt[]{n + 2} - \sqrt[]{n} = \frac{2}{\sqrt[]{n + 2} + \sqrt[]{n}} < 1. \end{matrix}

Jelöljük a közös egész részt

A

-val, akkor

\begin{matrix} {(A + 0, 4499)}^{2} < n < {(A + 0, 45)}^{2}, {(A + 0, 4944)}^{2} < n + 2 < {(A + 0, 4945)}^{2} . \end{matrix}

A második egyenlőtlenségből:

\begin{matrix} {(A + 0, 4944)}^{2} - n < 2 < {(A + 0, 4945)}^{2} - n . \end{matrix}

n

helyett az első egyenlőtlenség alapján a bal oldalon többet, a jobb oldalon kevesebbet levonva:

\begin{matrix} {(A + 0, 4944)}^{2} - {(A + 0, 45)}^{2} < 2 < {(A + 0, 4945)}^{2} - {(A + 0, 4499)}^{2}, \\ 0, 0444 (2 A + 0, 9444) < 2 < 0, 0446 (2 A + 0, 9444) . \end{matrix}

A kettős egyenlőtlenség első feléből (a zárójel második tagját elhagyva):

\begin{matrix} A < \frac{1}{0, 0444} = \frac{2500}{111} < 23, \end{matrix}

a második feléből (a zárójel második tagja helyett a nagyobb 2-t írva):

\begin{matrix} A > \frac{1}{0, 0446} - 1 > \frac{1}{0, 045} - 1 = \frac{191}{9} > 21. \end{matrix}

Mivel

A

egész, csak 22 felelhet meg. Ekkor

n

22, 44^{2}

és

22, 45^{2}

közé eső egész, azaz

\begin{matrix} 503, 5536 < n < 504, 0025, \end{matrix}

tehát

n = 504

, és valóban

\begin{matrix} \sqrt[]{504} & = 22, 449 944 ..., \\ \sqrt[]{506} & = 22, 494 443 ... . \end{matrix}

Baranyai Ágnes (Budapest, Martos F. lg. II. o. t.)