Feladat: 805. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Baranyai Ágnes 
Füzet: 1963/november, 143 - 144. oldal  PDF file
Témakör(ök): Irracionális egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1962/december: 805. matematika gyakorlat

Egy természetes szám négyzetgyökének első 5 tizedes jegye 44994, a 2-vel nagyobb szám négyzetgyökének első öt tizedes jegye pedig 49444. Melyek ezek a számok?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a szóban forgó két egész szám n és n+2. Négyzetgyökük egész része meg kell hogy egyezzék, mert különben a két négyzetgyök 1-nél többel különböznék, pedig

n+2-n=2n+2+n<1.

Jelöljük a közös egész részt A-val, akkor
(A+0,4499)2<n<(A+0,45)2,(A+0,4944)2<n+2<(A+0,4945)2.
A második egyenlőtlenségből:
(A+0,4944)2-n<2<(A+0,4945)2-n.
n helyett az első egyenlőtlenség alapján a bal oldalon többet, a jobb oldalon kevesebbet levonva:
(A+0,4944)2-(A+0,45)2<2<(A+0,4945)2-(A+0,4499)2,0,0444(2A+0,9444)<2<0,0446(2A+0,9444).


A kettős egyenlőtlenség első feléből (a zárójel második tagját elhagyva):
A<10,0444=2500111<23,
a második feléből (a zárójel második tagja helyett a nagyobb 2-t írva):
A>10,0446-1>10,045-1=1919>21.
Mivel A egész, csak 22 felelhet meg. Ekkor n a 22,442 és 22,452 közé eső egész, azaz
503,5536<n<504,0025,
tehát n=504, és valóban
504=22,449944...,506=22,494443....

 Baranyai Ágnes (Budapest, Martos F. lg. II. o. t.)