Kezdőlap


Feladat:	722. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Papp László , Sörlei Zsuzsa
Füzet:	1962/május, 213. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/október: 722. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elegendő megmutatnunk, hogy

\begin{matrix} {(1 + \sqrt[]{2} + \sqrt[]{3})}^{4} = \sqrt[]{6400} + \sqrt[]{6144} + \sqrt[]{4800} + \sqrt[]{4608} . \end{matrix}

A jobb oldal a gyökjelek alól való kiemelések után így írható:

\begin{matrix} 80 + 32 \sqrt[]{6} + 40 \sqrt[]{3} + 48 \sqrt[]{2} . \end{matrix}

(1)

A bal oldali hatványt két egymás utáni négyzetre emeléssel számítjuk ki:

\begin{matrix} {(1 + \sqrt[]{2} + \sqrt[]{3})}^{2} = 1 + 2 \sqrt[]{2} + 2 + 2 \sqrt[]{3} + 2 \sqrt[]{6} + 3 = \\ = 6 + 2 \sqrt[]{2} + 2 \sqrt[]{3} + 2 \sqrt[]{6} . & (2) \end{matrix}

Ennek négyzete

\begin{matrix} 36 + 24 \sqrt[]{2} + 8 + 24 \sqrt[]{3} + 8 \sqrt[]{6} + 12 + 24 \sqrt[]{6} + 8 \sqrt[]{12} + 8 \sqrt[]{18} + 24, \end{matrix}

és ez összevonások után (1)-et adja.

Sörlei Zsuzsa (Nagykanizsa, Landler J. g. II. o. t.)

Megjegyzés. (2) négyzetre emelése egyszerűbb, ha észrevesszük, hogy szorzattá alakítható:

\begin{matrix} (6 + 2 \sqrt[]{3}) + (2 \sqrt[]{2} + 2 \sqrt[]{6}) = 2 \sqrt[]{3} (\sqrt[]{3} + 1) + 2 \sqrt[]{2} (1 + \sqrt[]{3}) = 2 (\sqrt[]{3} + \sqrt[]{2}) (\sqrt[]{3} + 1) . \end{matrix}

Így négyzete

4 (5 + 2 \sqrt[]{6}) (4 + 2 \sqrt[]{3})

, és ez beszorzással ismét (1)-re vezet.

Papp László (Jászberény, Lehel vezér g. III. o. t.)