A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: A feltétel első egyenletéből -t a másodikba helyettesítve | | Innen rendezés és egyszerűsítés után szorzattá alakítással | | Eszerint a és egyenlőségek közül legalább az egyik fennáll. Mármost (1)-ből, ha , azaz , akkor , ha pedig , azaz , akkor . Ezzel az állítást igazoltuk. (Természetesen lehet mind a négy érték is egyenlő.)
Tichy Géza (Budapest, Árpád g. II. o. t.) | II. megoldás. Írjuk (1) és (2)-t így másképpen | | () |
Ha () mindkét oldala 0, akkor nincs mit bizonyítanunk, hiszen , és . Ha pedig () két oldalán 0-tól különböző szám áll, evvel ()-t egyszerűsítve Ehhez ()-t előbb hozzáadva, majd belőle kivonva , ill. -re jutunk, ami az állítást igazolja.
Mihályi Zoltán (Budapest, Rákóczi F. g. II. o. t.) | III. megoldás. Legyen (1), ill. (2) két oldalának közös értéke , ill. , és tekintsük , , , -t ismeretleneknek. Vonjuk ki (1) négyzetéből (2)-t, majd egyszerűsítsünk 2-vel:
Ez azt jelenti, hogy és az , egyenletrendszer megoldása. Innen bármelyik ismeretlen kiküszöbölésével az egyenletre jutunk, ahol az és bármelyikét jelentheti. Így , -re két értékrendszert kapunk, de ezek egymástól csak sorrendben különböznek. A , egyenletrendszer ugyancsak (4)-re vezet. Ámde (4)-nek legfeljebb 2 szám tesz eleget, ezért a , számpár valamelyik sorrendben megegyezik az , számpárral. Ha (4) gyökei egyenlők, akkor mindkét egyenletrendszernek csak egy szám tesz eleget és .
Lehel Jenő (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. II. o. t.) | Megjegyzések. 1. Egyenleteinknek geometriai jelentést tulajdoníthatunk (2) szerint az , és , befogópárokkal szerkesztett derékszögű háromszögek átfogója egyenlő. (3) szerint pedig területeik is egyenlők, ezért a két háromszögben az átfogóhoz tartozó magasságok is egyenlők. Ezért a két háromszöget a közös átfogóval mint átmérővel bíró Thalész‐félkörbe beillesztve vagy fedik egymást, vagy egy szimmetrikus trapéz csúcsait jelölik ki, és így mindenképpen egybevágók.
Pusztai Dénes (Budapest, I. István g. I. o. t.) | 2. Az eredeti feltétel‐pár egy geometriai értelmezése a következő. Szorítkozzunk arra az esetre, amikor az , , , szakaszokból lehet négyszöget szerkeszteni, pl. az , , , sorrendben, és ez a négyszög konvex. Ekkor (1) szerint a négyszög érintőnégyszög, (2)-ből az következik, hogy átlói merőlegesek, végül a 607. gyakorlatban konvex érintőnégyszög átlói merőlegességének szükséges és elégséges feltételéül azt találtuk, hogy a négyszögben 2‐2 szomszédos oldalpárnak egyenlőnek kell lennie. Eszerint vagy és vagy és ; természetesen mindkét egyenlőségpár is teljesülhet.
Lehel Jenő (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. II. o. t.) | Lásd Kürschák‐Neukomm‐Surányi: Matematikai Versenytételek I. (Tankönyvkiadó, 1955) 99. o.: ,,Bizonyítsuk be, hogy egy négyszög átlói akkor és csak akkor merőlegesek egymásra, ha két szemben fekvő oldal négyzetének összege egyenlő a másik két oldal négyzetének összegével''.K. M. L. 21 (1960), 140. o. |
|