A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. a) Feltehetjük, hogy , ( esetén téglalapról lenne szó, és az állítás a Pythagorász‐tételre egyszerűsödik.) Rajzoljuk meg a oldal egyik végpontjából a trapéz átlóját és magasságát (1. ábra). 1. ábra Az utóbbi a trapézból egy derékszögű háromszöget metsz le, melynek -n levő befogója hosszúságú, és átfogója a szár. Az oldal fennmaradó darabja az átlóval és a magassággal ugyancsak derékszögű háromszöget alkot. Ezekből | | és kiküszöbölésével (röviden: kivonással) | | amit bizonyítanunk kellett. b) Tükrözzük -t a szakasz felező merőlegesére, és legyen a képe (2. ábra). 2. ábra Így , ezért , az -en átmenő, -val párhuzamos egyenesen van, és a idom szimmetrikus trapéz. Elég tehát azt belátnunk, hogy a kijelölt pont azonos -gyel. Az a) részben bebizonyított tételt -re alkalmazva , azaz . Másrészt az irány megegyezik a iránnyal, mert , azaz miatt az -fel kettévágott síknak azon a felén van, mint , ennélfogva azon a felén van a síknak, mint . Ezek szerint az pont szerkesztési utasítása valóban -et állítja elő. Ezzel a bizonyítást befejeztük.
Gáspár Hedvig (Debrecen, Kossuth L. gyak. g. I. o. t.) | II. megoldás. a) Legyen az szimmetrikus trapézban (1. ábra) , , , ekkor (az feltevés folytán hegyes szögek). Rajzoljuk meg körül a sugarú kört. Ez az egyenest egyszer és között -ben metszi, mert nyilván (az ellentétes esetben a trapéz hurkolt lenne, amit kizárunk) és egyszer az átló -n túli meghosszabbításán -ben. Így , . Másrészt átmegy -n és metszi -t egy belső pontban. Megmutatjuk, hagy a idom paralelogramma, és így . Valóban, az egyenlő szárú, ezért egyrészt , másrészt , tehát . Most már a kör egy ponton átmenő két szelőjének metszeteire ismert tétel szerint , vagyis . Ezt kellett bizonyítanunk. b) Az körül sugárral írt körre nézve külső pont, mert . Ezért és a , egyenes metszéspontjait és , valamint -vel jelölve , , és a szelőkre idézett tétel szerint , vagyis , és így . Másrészt és a -nek ugyanazon oldalán vannak, tehát egyirányú -vel, tehát -sel is. Ezért a idom paralelogramma. És mivel az háromszög egyenlő szárú, és a alap vagy része -nek, vagy annak -n túli meghosszabbításán van (aszerint, hogy a hegyes vagy tompa), azért a trapéz szimmetrikus.
Dobó Ferenc (Budapest, I. István g. II. o. t.) | Megjegyzések. 1. A feladat a) és b) állítása egybefoglalva így is kimondható: egy (konvex) trapéz akkor és csak akkor szimmetrikus trapéz, ha az egyik átlójának és egyik szárának négyzetéből képezett különbség egyenlő a párhuzamos oldalak szorzatával. Ezt a két állítást összevontan bizonyítjuk be. Feltehetjük, hogy a trapéznak van hegyes szöge, legyen ez az (1. ábra). Így -nek -n levő vetülete -nek ugyanazon oldalán van, mint . Legyen , így hossza . A és derékszögű háromszögekből | | Az követelményből | | mert . Mivel , azért . Továbbá , tehát az szakaszon van. Másrészt , tehát -nek -n levő vetülete az szakaszra esik, és , eszerint a követelmény csak egyenlő szárú trapézban teljesül. Ilyenben viszont mindig teljesül, mert itt a szárnak a hosszabb oldalon levő vetülete .
Strobl Ilona (Budapest, Móricz Zs. g. II. o. t.) | 2. A szerkesztőség azért fogalmazta a b) részt külön állításként, hogy a versenyzők könnyebben vegyék észre, hogy az állítás megfordításáról van szó. A más jelölés viszont a részek jobb megkülönböztetését célozta. Ezek ellenére számos dolgozat a b) résszel nem foglalkozott, ill. helyességét természetesnek vette. |