|
Feladat: |
638. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Ámon Magdolna , Baróti Gy. , Belley Ágnes , Benczúr A. , Csákó Gy. , Dékány Veronika , Dobó F. , Dudinszky Ilona , Endreffy Z. , Fajszi Cs. , Farkas Z. , Gálfi l. , Gáspár R. , Görbe T. , Katona Éva , Katona Mária , Kerényi Ilona , Kiss Tünde , Klukovits l. , Kóta J. , Kunszt Z. , Kövessi Ágnes , Lehel J. , Majoros L. , Nagy Angéla , Nagy Géza , Németh I. , Nováky B. , Opálény M. , Patthy László , Pór A. , Raisz M. , Sebestyén Z. , Simonovits M. , Sólyom Ilona , Sonnevend Gy. , Szepesvári I. , Szidarovszky Ágnes , Szidarovszky F. , Tasnády Mária , Tószegi S. , Tóth Klára , Vág I. , Vesztergombi Gy. , Zalán P. |
Füzet: |
1961/március,
112 - 113. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Négyzetszámok összege, Terület, felszín, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1960/május: 638. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az átló hossza éppen azoknak a távolságoknak a legnagyobbika, amelyek egy téglalap két pontja között felléphetnek. Ezért az adott háromszög a feltételeknek megfelelően csak olyan téglalapban helyezhető el, amelynek átlója egyenlő háromszögünk leghosszabb oldalával, -tel. Így elsősorban azt kell megmutatnunk, hogy 377 felírható két egész szám négyzetének összegeként. A nagyobb összeadandóként elég 14, 15, , 19 négyzetével próbálkoznunk, mert még kisebb, és már nagyobb 377 felénél, másrészt még kisebb, de már nagyobb 377-nél. Közülük csak két próba eredményes:
eszerint a téglalap oldalait csak a 16, 11 és a 19, 4 számpárok adhatják. A harmadik csúcson át a téglalap oldalaival húzott párhuzamosoknak a téglalapot négy, egész oldalakkal bíró téglalapra kell osztaniuk és ezek közül két nem szomszédosban az átlónak , ill. -nak kell lennie. Így még azt kell megmutatnunk, hogy 153 és 80 is egy‐egy (pozitív) egész számpár négyzetösszegeként írható, továbbá hogy e párok egyik‐egyik tagja a téglalap hosszát adja összegül, a másik tagok pedig a szélességét. A fentihez hasonlóan mindkét számra egyetlen felbontás adódik: A összeg nagyobb lenne az átlónál, ezért csak a , párosítás jöhet szóba. Ez megfelel a fenti (I)-nek. Ezzel a kívánt elhelyezés lehetséges voltát bebizonyítottuk. A szimmetriáktól eltekintve egyetlen megfelelő elhelyezés lehetséges.
A fenti jelölésekkel a téglalap háromszögében van. -nek -re és -re való vetületét , -vel jelölve az háromszöget -ből az , , és derékszögű háromszögek, valamint a téglalap elvételével kapjuk. és a kivonandó területek mértékszáma egész szám, mert mindegyik háromszög egyik befogója páros, ezért területének mértékszáma valóban egész. Szám szerint egység.
Patthy László (Sopron, Berzsenyi D. g. II. o. t.) |
|
|