Feladat: 638. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ámon Magdolna ,  Baróti Gy. ,  Belley Ágnes ,  Benczúr A. ,  Csákó Gy. ,  Dékány Veronika ,  Dobó F. ,  Dudinszky Ilona ,  Endreffy Z. ,  Fajszi Cs. ,  Farkas Z. ,  Gálfi l. ,  Gáspár R. ,  Görbe T. ,  Katona Éva ,  Katona Mária ,  Kerényi Ilona ,  Kiss Tünde ,  Klukovits l. ,  Kóta J. ,  Kunszt Z. ,  Kövessi Ágnes ,  Lehel J. ,  Majoros L. ,  Nagy Angéla ,  Nagy Géza ,  Németh I. ,  Nováky B. ,  Opálény M. ,  Patthy László ,  Pór A. ,  Raisz M. ,  Sebestyén Z. ,  Simonovits M. ,  Sólyom Ilona ,  Sonnevend Gy. ,  Szepesvári I. ,  Szidarovszky Ágnes ,  Szidarovszky F. ,  Tasnády Mária ,  Tószegi S. ,  Tóth Klára ,  Vág I. ,  Vesztergombi Gy. ,  Zalán P. 
Füzet: 1961/március, 112 - 113. oldal  PDF file
Témakör(ök): Négyzetszámok összege, Terület, felszín, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1960/május: 638. matematika gyakorlat

Egy háromszög oldalainak mérőszámai 377, 153, 80. Mutassuk meg, hogy lehet a háromszöget úgy elhelyezni egy olyan téglalapban, melynek oldalai egész számok, hogy a háromszög két csúcsa az egyik átló végpontjaiba esik, és a harmadik csúcsnak a téglalap oldalaitól való távolságai egész számok. Mutassuk meg, hogy a háromszög területe egész szám!

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az átló hossza éppen azoknak a távolságoknak a legnagyobbika, amelyek egy téglalap két pontja között felléphetnek. Ezért az adott háromszög a feltételeknek megfelelően csak olyan ABCD téglalapban helyezhető el, amelynek AC átlója egyenlő háromszögünk leghosszabb oldalával, 377-tel. Így elsősorban azt kell megmutatnunk, hogy 377 felírható két egész szám négyzetének összegeként. A nagyobb összeadandóként elég 14, 15, ..., 19 négyzetével próbálkoznunk, mert 132 még kisebb, és 142 már nagyobb 377 felénél, másrészt 192 még kisebb, de 202 már nagyobb 377-nél. Közülük csak két próba eredményes:

377=162+112,(I)377=192+42,(II)
eszerint a téglalap oldalait csak a 16, 11 és a 19, 4 számpárok adhatják.
A harmadik E csúcson át a téglalap oldalaival húzott párhuzamosoknak a téglalapot négy, egész oldalakkal bíró téglalapra kell osztaniuk és ezek közül két nem szomszédosban az átlónak AE=153, ill. CE=80-nak kell lennie. Így még azt kell megmutatnunk, hogy 153 és 80 is egy‐egy (pozitív) egész számpár négyzetösszegeként írható, továbbá hogy e párok egyik‐egyik tagja a téglalap hosszát adja összegül, a másik tagok pedig a szélességét. A fentihez hasonlóan mindkét számra egyetlen felbontás adódik:
153=122+32,80=82+42.
A 12+8=20 összeg nagyobb lenne az átlónál, ezért csak a 12+4=16, 3+8=11 párosítás jöhet szóba. Ez megfelel a fenti (I)-nek. Ezzel a kívánt elhelyezés lehetséges voltát bebizonyítottuk. A szimmetriáktól eltekintve egyetlen megfelelő elhelyezés lehetséges.
 
 

A fenti jelölésekkel E a téglalap ABC háromszögében van. E-nek AB-re és BC-re való vetületét F, G-vel jelölve az ACE háromszöget ABCD-ből az ACD, AEF, és CEG derékszögű háromszögek, valamint a BFEG téglalap elvételével kapjuk. ABCD és a kivonandó területek mértékszáma egész szám, mert mindegyik háromszög egyik befogója páros, ezért ACE területének mértékszáma valóban egész. Szám szerint t=42 egység.
 

Patthy László (Sopron, Berzsenyi D. g. II. o. t.)