Feladat: 548. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Biborka T. ,  Bollobás B. ,  Dömötör Gy. ,  Farkas Z. ,  Gálfi l. ,  Juhász István ,  Kéry G. ,  Krámli A. ,  Máté A. ,  Molnár E. ,  Palágyi F. ,  Ruda Győző ,  Székely J. ,  Szőts M. ,  Tomcsányi Gy. 
Füzet: 1959/november, 130 - 131. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb feladványok, Helyvektorok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1959/február: 548. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

*a) Elég az állítást két K1, K2 konvex tartományra bizonyítanunk, mert három (K1, K2, K3) tartomány közös részét nyilván úgy is képezhetjük, hogy kijelöljük a közös részt egyrészt K3-ból, másrészt K1, K2-nek K12 közös részéből, és hasonlóan haladhatunk tovább több tartomány esetén. ‐ Legyen K12 két tetszés szerinti pontja P, Q; azt kell megmutatnunk, hogy a PQ szakasz minden pontja K12-ben van.

 
 

Ez igaz, mert P és Q a K1 és K2 mindegyikének pontja; ezek a tartományok konvexek, így P, Q-val együtt a PQ szakasz minden pontja benne van K1 és K2 mindegyikében, ennélfogva közös részükben is.
 

b) Azt kell megmutatnunk, hogy az M+N=S összegtartomány téglalap, hogy C-nek S minden oldalán van pontja, és S-en kívül nincs pontja. ‐ Hogy S téglalap, ezt az idézett cikkben az összegtartománynak lefedéssel való értelmezéséről olvashatók alapján nyilvánvalónak vesszük.
 
 

Mivel M, ill. N tartalmazza A-t, ill. B-t, azért a C képezésénél használt O kezdőpontra vonatkozó M+N=S tartalmazza C-t. ‐ Legyen S bármelyik oldalegyenese, egyben támaszegyenese ts, és M, ill. N megfelelő oldal-, ill. támaszegyenese tm, tn (vagyis amely párhuzamos ts-sel, és amelynek M, ill. N ugyanazon oldalán van, mint ts-nek S). Így az M-nek tm-en levő tetszés szerinti M', és N-nek tn-en levő tetszés szerinti N' pontjából az OM'+ON'=OS' egyenlőséggel szerkesztett S' pont ts-en van. Már most tm-en A-nak legalább egy A' pontja van, mert M támasztéglalapja A-nak, ugyanígy tn-en van B-nek legalább egy B' pontja; ezeket véve M', ill. N'-nek, S' a C-hez tartozik, és ts-en van, amit bizonyítani akartunk.
 

Ruda Győző (Budapest, Kőrösi Csoma S. g. II. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. Az idézett cikk II. tételének bizonyítását (34‐35. o.) majdnem szó szerint átvéve egy másik bizonyítást kapunk az állítás b) részére.
 

Juhász István (Budapest, Madách I. g. II. o. t.)
 

2. Nem lett volna nehéz S paralelogramma voltának bizonyítása sem.

*Lásd a kitűző cikkét a KML. XVIII. kötet 1. és 2. számában, 1959. január ‐ február.