|
Feladat: |
548. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Biborka T. , Bollobás B. , Dömötör Gy. , Farkas Z. , Gálfi l. , Juhász István , Kéry G. , Krámli A. , Máté A. , Molnár E. , Palágyi F. , Ruda Győző , Székely J. , Szőts M. , Tomcsányi Gy. |
Füzet: |
1959/november,
130 - 131. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Egyéb feladványok, Helyvektorok, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1959/február: 548. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. a) Elég az állítást két , konvex tartományra bizonyítanunk, mert három (, , ) tartomány közös részét nyilván úgy is képezhetjük, hogy kijelöljük a közös részt egyrészt -ból, másrészt , -nek közös részéből, és hasonlóan haladhatunk tovább több tartomány esetén. ‐ Legyen két tetszés szerinti pontja , ; azt kell megmutatnunk, hogy a szakasz minden pontja -ben van.
Ez igaz, mert és a és mindegyikének pontja; ezek a tartományok konvexek, így , -val együtt a szakasz minden pontja benne van és mindegyikében, ennélfogva közös részükben is. b) Azt kell megmutatnunk, hogy az összegtartomány téglalap, hogy -nek minden oldalán van pontja, és -en kívül nincs pontja. ‐ Hogy téglalap, ezt az idézett cikkben az összegtartománynak lefedéssel való értelmezéséről olvashatók alapján nyilvánvalónak vesszük.
Mivel , ill. tartalmazza -t, ill. -t, azért a képezésénél használt kezdőpontra vonatkozó tartalmazza -t. ‐ Legyen bármelyik oldalegyenese, egyben támaszegyenese , és , ill. megfelelő oldal-, ill. támaszegyenese , (vagyis amely párhuzamos -sel, és amelynek , ill. ugyanazon oldalán van, mint -nek ). Így az -nek -en levő tetszés szerinti , és -nek -en levő tetszés szerinti pontjából az egyenlőséggel szerkesztett pont -en van. Már most -en -nak legalább egy pontja van, mert támasztéglalapja -nak, ugyanígy -en van -nek legalább egy pontja; ezeket véve , ill. -nek, a -hez tartozik, és -en van, amit bizonyítani akartunk.
Ruda Győző (Budapest, Kőrösi Csoma S. g. II. o. t.) | Megjegyzések. 1. Az idézett cikk II. tételének bizonyítását (34‐35. o.) majdnem szó szerint átvéve egy másik bizonyítást kapunk az állítás b) részére.
Juhász István (Budapest, Madách I. g. II. o. t.) | 2. Nem lett volna nehéz paralelogramma voltának bizonyítása sem.
Lásd a kitűző cikkét a KML. XVIII. kötet 1. és 2. számában, 1959. január ‐ február. |
|