Feladat: 419. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Álmos Á. ,  Bartha L. ,  Bender Cecilia ,  Bognár L ,  Bóné A. ,  Börzsöny L. ,  Elbert Á. ,  Endrődy T. ,  Farkas Gy. ,  Fejes L. ,  Füle K. ,  Gaál S. ,  Garda Á. ,  Gergely Cs. ,  Grallert F. ,  Gyene A. ,  Győry Matild ,  Hadik Z. ,  Halász G. ,  Halász Gábor ,  Hites F. ,  Illés L. ,  K. Nagy Ildikó ,  Katona Gy. ,  Kaviák L. ,  Kolonits F. ,  Lassányi F. ,  Losonczy L. ,  Magos A. ,  Majsai L. ,  Majtényi S. ,  Mocskónyi M. ,  Muszély Gy. ,  Müller M. ,  Németh Marianne ,  Ortutay M. ,  Papp Éva ,  Raisz Klára ,  S. Nagy Erzsébet ,  Sikabonyi Gy. ,  Simonfai L. ,  Soós S. ,  Szabó Gy. ,  Szatmári A. ,  Szatmári G. ,  Tamás Gy. (Bp.) ,  Tatai P. ,  Trón L. ,  Újteleki Anna ,  Zahumenszki Zille ,  Zombori L. 
Füzet: 1958/január, 8 - 9. oldal  PDF file
Témakör(ök): Rombuszok, Diszkusszió, Négyszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1957/április: 419. matematika gyakorlat

Szerkesszünk rombuszt, ha adva van a kerülete: k, és átlóinak összege: u(=e+f). Határozzuk meg a megoldhatóság feltételeit.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az 1. ábrán megrajzoltuk a megszerkesztettnek képzelt ABCD rombuszt.

 
 
1. ábra
 
A rombusz egyik oldala és az átlók által alkotott AEB derékszögű háromszögből ismert az átfogó: k4, és ismert a két befogó összege: e+f2=u2. Kérdés, hogyan lehet ebből az AEB derékszögű háromszöget megszerkeszteni.
Mérjük rá pl. a rövidebb félátlót, EB-t a hosszabbik meghosszabbítására. Az így kapott AB'B háromszögből ismert két oldala: k4 ill. u2, és a B'=45.
A szerkesztést ezek után a következő módon végezhetjük legegyszerűbben (2. ábra): Egy AB'=u2 hosszúságú szakaszra B' végpontjában 45-os szöget mérünk, majd az A pontból a másik szögszárat k4 sugartú körívvel metsszük el, majd a B (és a B1) metszéspontból merőlegest bocsátunk AB'-re, az így keletkező ABE és AB1E1 háromszögek felelnek meg a feladat követelményeinek. A rombusz csúcsait ezután pl. úgy kaphatjuk, hogy az E csúcsra tükrözzük a háromszög másik két csúcsát.
 
 
2. ábra
 

Csak látszólagos, hogy két megoldást kaptunk, mert belátható, hogy a kettő egybevágó. Állítsunk ugyanis AB'-re A-ban merőlegest, ez a B'B egyenest olyan B'1 pontban metszi, amelyre AB'1=AB'. B1-ből AB'1-re a B1E'1 merőlegest bocsátva az ABE és AB1E'1 háromszögek egymás tükörképei az AB'B'1, háromszög szimmetriatengelyére nézve, AB1E'1 és AB1E1 pedig egybevágók.
A feladat megoldhatóságának feltétele, hogy az A középpontú körívnek legyen a végpontoktól különböző közös pontja a B'B'1 szakasszal, azaz hogy
AB'>AB22AB',tehátu2>k42u4,
vagy
2uk<2u.

A k=2u esetben speciális rombuszt: négyzetet kapunk. A k=2u esetben egy egyenesszakasszá lapul a rombusz.
 

Halász Gábor (Bp. II., Rákóczi g. II. o. t.)