Kezdőlap


Feladat:	413. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartha L. , Bender Cecilia , Bóné A. , Brodszky Ildikó , Csanak Gy. , Endrődy T. , Fejes L. , Füle K. , Goldperger I. , Grallert F. , Gyene A. , Hadik Z. , Halász G. , Hornyánszky Tamás , Kisvölcsey J. , Kolonits F. , Koszterszitz Gy. , Magos A. , Mayer G. , Müller M. , Náray Miklós (Bp.) , Náray Miklós (Győr) , S. Nagy Erzsébet , Simonfai L. , Soós S. , Szász D. , Szatmári G. , Tamás Gy. (Bp.) , Tamás Gy. (Ózd) , Tatai P. , Téry L. , Thaisz K. , Trón L.
Füzet:	1957/december, 143 - 145. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Alakzatok hasonlósága, Háromszögek nevezetes tételei, Szögfelező egyenes, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/március: 413. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A háromszög oldalai legyenek $a$ , $b$ , $c = 2 r$ , a szögfelező által létesített két szakasz $b_{1}$ , $b_{2}$ . A létrejött két derékszögű háromszögből (1. ábra)

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} = c^{2} \end{matrix}

és

\begin{matrix} a^{2} + b_{2}^{2} = f^{2} \end{matrix}

1. ábra

A szögfelező osztásarányából

\begin{matrix} \frac{b_{2}}{b_{1}} = \frac{a}{c}, \end{matrix}

viszont

\begin{matrix} b_{1} + b_{2} = b, \end{matrix}

a kettőből

\begin{matrix} b_{2} = \frac{a b}{a + c} . \end{matrix}

Ezt a második Pythagoras-tételbe írva s az elsőt is fölhasználva

\begin{matrix} a^{2} + \frac{a^{2} b^{2}}{{(a + c)}^{2}} = a^{2} \frac{{(a + c)}^{2} + (c^{2} - a^{2})}{{(a + c)}^{2}} = \frac{2 a^{2} c}{a + c} = f^{2}, \end{matrix}

ebből:

\begin{matrix} 2 c a^{2} - f^{2} a - f^{2} c = 0. \end{matrix}

Mivel

a

távolság, ezért a pozitív gyök lesz a megoldás:

\begin{matrix} a = \frac{f^{2} + \sqrt[]{f^{4} + 8 f^{2} c^{2}}}{4 c} = \frac{f}{4 c} (f + \sqrt[]{f^{2} + 8 c^{2}}), \end{matrix}

másképpen

\begin{matrix} a : f = (f + \sqrt[]{f^{2} + 8 c^{2}}) : 4 c . \end{matrix}

Ebből

a

-t a következőképp szerkeszthetjük meg. Először megszerkesztjük a

\sqrt[]{8} c

távolságot, majd

f

és

\sqrt[]{8} c

befogójú derékszögű háromszögből átfogóként a

\sqrt[]{f^{2} + 8 c^{2}}

távolságot, s ezt

f

-fel növeljük. Az így kapott szakaszból, valamint

f

-ből és

4 c

-ből negyedik arányos szerkesztéssel megkapjuk

a

-t.

a

és

c

ismeretében a derékszögű háromszög már megszerkeszthető.
A megoldhatóság feltétele az, hogy

f < c

. Ha ez teljesül, mindig van

1

megoldása a feladatnak.

Hornyánszky Tamás (Bp. VIII., Piarista g. I. o. t.)

II. megoldás: A megszerkesztendő

A B C

háromszög

f

szögfelezőjét hosszabbítsuk meg a köréjeírt körig (2. ábra).

2. ábra

Mivel

A E D ▵

A

-nál levő szöge az

E C

íven nyugszik, így

\frac{β}{2}

nagyságú, s ennek következtében

A E D ▵ \sim B E A ▵

. Ebből

\begin{matrix} y : x = x : (f + y), \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} x^{2} = y^{2} + f y . \end{matrix}

(1)

Viszont a

B E A

derékszögű háromszögben

\begin{matrix} c^{2} = x^{2} + {(y + f)}^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 f y + f^{2}, \end{matrix}

tehát (1) fölhasználásával

\begin{matrix} c^{2} = 2 y^{2} + 3 f y + f^{2}, \\ c^{2} - f^{2} = y (3 f + 2 y) . \end{matrix}

c^{2} - f^{2}

-et

t^{2}

-tel jelöljük,

2

-vel szorozva a következő egyenlőséget kapjuk:

\begin{matrix} 2 t^{2} = 2 y (3 f + 2 y) \end{matrix}

(2)

Ennek alapján

y

-t a következőképpen szerkeszthetjük meg. A

c

és

f

oldalú derékszögű háromszög befogójaként megszerkesztjük

t

-t (3. ábra).

3. ábra

A (2) egyenlőség szerint

\sqrt[]{2} t

mértani közép

2 y

és

(3 f + 2 y)

közt. Megszerkesztjük először

\sqrt[]{2} t

-t, majd ebből a 4. ábrán látható módon az érintő és szelődarabok közti mértani középösszefüggés alapján megszerkesztjük

2 y

-t.

4. ábra

y

ismeretében már könnyen megszerkeszthető a 2. ábra

A E B

háromszöge s ebből a keresett

A B C ▵

is.