Kezdőlap


Feladat:	385. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Halász Gábor , Sikabonyi György
Füzet:	1957/április, 118 - 119. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Magasságpont, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/december: 385. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Ha az $A$ -ból és $B$ -ből kiinduló magasságok talppontjait $A_{1}$ és $B_{1}$ -gyel, a magasságpontot $M$ -mel jelöljük, akkor az $M A_{1} C B_{1}$ (lásd az ábrát) négyszög húrnégyszög, mert az $A_{1}$ és $B_{1}$ -nél levő szögek derékszögek.

Tehát a húrnégyszög másik két szögének összege

ω + γ = 180^{\circ}

, vagyis

\begin{matrix} ω = 180^{\circ} - γ, \end{matrix}

(1)

ahol

ω

A M B ∢

.
Ha az

M

rajta van a háromszög köré írt körön, akkor a kerületi szögek törvénye alapján

\begin{matrix} ω = γ . \end{matrix}

(2)

(1) és (2)-ből következik, hogy

γ = 180^{\circ} - γ

, vagyis

\begin{matrix} γ = 90^{\circ} = ω . \end{matrix}

Ez azt jelenti, hogy

M \equiv C

.
Megfordítva, e szükséges feltétel elégséges is, mert minden derékszögű háromszög magasságpontja a derékszög csúcspontja, és így rajta van a körülírt körön.

Halász Gábor (Bp. II., Rákóczi g. II. o. t.)

II. megoldás: Ismeretes, hogy a magasságpontnak a háromszög oldalaira vonatkozó tükörképei rajta vannak a háromszög köré írt körön.

M

csak akkor lehet tükörképével együtt a körülírt körön, ha
1. a tükröző, tengely ‐ a háromszög egyik oldala ‐ a körülírt kör szimmetria-tengelye, vagyis átmérője. Ez esetben Thales tétele értelmében

M

a derékszög csúcsa,
2. a tükröző tengely átmegy az

M

ponton, vagyis az

M

rajta van a háromszög-oldalon, és a körülírt körön, vagyis

M

a háromszög egyik csúcspontja. De

M

-nek összekötései a másik két csúccsal szükségképpen a háromszög magasságvonalai, és egyszersmind oldalai. Tehát

M

két egymásra merőleges oldal metszéspontja, vagyis egy derékszögű háromszög csúcspontja.
E feltétel elégséges volta kézenfekvő.

Sikabonyi György (Bp. VIII., Kandó híradásip. t. II. o.t.)