Feladat: 385. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Halász Gábor ,  Sikabonyi György 
Füzet: 1957/április, 118 - 119. oldal  PDF file
Témakör(ök): Körülírt kör, Magasságpont, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1956/december: 385. matematika gyakorlat

Mi annak a feltétele, hogy a háromszög magassági pontja a körülírt körre essék ?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Ha az A-ból és B-ből kiinduló magasságok talppontjait A1 és B1-gyel, a magasságpontot M-mel jelöljük, akkor az MA1CB1 (lásd az ábrát) négyszög húrnégyszög, mert az A1 és B1-nél levő szögek derékszögek.

 

 

Tehát a húrnégyszög másik két szögének összege ω+γ=180, vagyis
ω=180-γ,(1)
ahol ω az AMB.
Ha az M rajta van a háromszög köré írt körön, akkor a kerületi szögek törvénye alapján
ω=γ.(2)

(1) és (2)-ből következik, hogy γ=180-γ, vagyis
γ=90=ω.

Ez azt jelenti, hogy MC.
Megfordítva, e szükséges feltétel elégséges is, mert minden derékszögű háromszög magasságpontja a derékszög csúcspontja, és így rajta van a körülírt körön.
 

Halász Gábor (Bp. II., Rákóczi g. II. o. t.)

 

II. megoldás: Ismeretes, hogy a magasságpontnak a háromszög oldalaira vonatkozó tükörképei rajta vannak a háromszög köré írt körön.
M csak akkor lehet tükörképével együtt a körülírt körön, ha
1. a tükröző, tengely ‐ a háromszög egyik oldala ‐ a körülírt kör szimmetria-tengelye, vagyis átmérője. Ez esetben Thales tétele értelmében M a derékszög csúcsa,
2. a tükröző tengely átmegy az M ponton, vagyis az M rajta van a háromszög-oldalon, és a körülírt körön, vagyis M a háromszög egyik csúcspontja. De M-nek összekötései a másik két csúccsal szükségképpen a háromszög magasságvonalai, és egyszersmind oldalai. Tehát M két egymásra merőleges oldal metszéspontja, vagyis egy derékszögű háromszög csúcspontja.
E feltétel elégséges volta kézenfekvő.
 

Sikabonyi György (Bp. VIII., Kandó híradásip. t. II. o.t.)