Kezdőlap


Feladat:	366. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Halász Gábor
Füzet:	1957/február, 54 - 55. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/október: 366. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyen a keresett szám $100 x + 10 y + z$ , akkor, a feladat szerint

\begin{matrix} 100 x + 10 y + z = 100 z + 10 y + x - 198, & (1) \\ 100 x + 10 y + z = 100 x + 10 z + y - 9, & (2) \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 = 4 (x + y + z) . & (3) \\ x = z - 2, & (1-ből) \\ y = z - 1. & (2-ből) \end{matrix}

Ezeket az értékeket (3)-ba helyettesítve

\begin{matrix} {(z - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} + z^{2} - 2 = 4 [(z - 2) + (z - 1) + z] = 12 (z - 1) . \end{matrix}

Rendezve és egyszerűsítve

\begin{matrix} z^{2} - 6 z + 5 = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} z_{1} = 5, [z_{2} = 1.] \end{matrix}

Utóbbi gyök nem jöhet számításba, mert ez esetben

x = - 1

volna.
Tehát

\begin{matrix} z - 5, x = z - 2 = 3, y = z - 1 = 4, \end{matrix}

vagyis a keresett szám 345.

Halász Gábor (Bp. II., Rákóczi g. II. o. t.)

II. megoldás: Kevesebb számolással jutunk célhoz, ha (3) egyenletből indulunk ki, és kihasználjuk azt a tényt, hogy

x

y

z

pozitív (egyjegyű) egész számok.
(3) így írható:

\begin{matrix} {(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 14, \end{matrix}

vagyis 14 három egész szám négyzetének összegére bontandó.
A legnagyobb négyzetszám 9 kell hogy legyen, mert különben összegül legfeljebb 12-t kapunk, így csak az

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} = 14

, felbontás lehetséges, vagyis a keresett szám számjegyei: 3, 4, 5.
Az első két feltételből következik, hogy

z > x

, és

z > y

, tehát

z = 5

, és így a keresett szám vagy 345, vagy 435. De 435 nem tesz eleget az (1) és (2) követelményeknek, tehát csak 345 lehet a megoldás, és 345 tényleg megfelel.