Feladat: 366. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Halász Gábor 
Füzet: 1957/február, 54 - 55. oldal  PDF file
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1956/október: 366. matematika gyakorlat

Valamely háromjegyű szám első és harmadik jegyének felcserélése 198-cal, második és harmadik jegyének felcserélése pedig 9-cel növeli a számot. A számjegyek négyzeteinek összege 2-vel nagyobb összegük négyszeresénél. Melyik ez a szám ?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyen a keresett szám 100x+10y+z, akkor, a feladat szerint

100x+10y+z=100z+10y+x-198,(1)100x+10y+z=100x+10z+y-9,(2)x2+y2+z2-2=4(x+y+z).(3)x=z-2,(1-ből)y=z-1.(2-ből)



Ezeket az értékeket (3)-ba helyettesítve
(z-2)2+(z-1)2+z2-2=4[(z-2)+(z-1)+z]=12(z-1).

Rendezve és egyszerűsítve
z2-6z+5=0,
amiből
z1=5,[z2=1.]

Utóbbi gyök nem jöhet számításba, mert ez esetben x=-1 volna.
Tehát
z-5,x=z-2=3,y=z-1=4,
vagyis a keresett szám 345.
 

Halász Gábor (Bp. II., Rákóczi g. II. o. t.)

 

II. megoldás: Kevesebb számolással jutunk célhoz, ha (3) egyenletből indulunk ki, és kihasználjuk azt a tényt, hogy x, y, z pozitív (egyjegyű) egész számok.
(3) így írható:
(x-2)2+(y-2)2+(z-2)2=14,
vagyis 14 három egész szám négyzetének összegére bontandó.
A legnagyobb négyzetszám 9 kell hogy legyen, mert különben összegül legfeljebb 12-t kapunk, így csak az 12+22+32=14, felbontás lehetséges, vagyis a keresett szám számjegyei: 3, 4, 5.
Az első két feltételből következik, hogy z>x, és z>y, tehát z=5, és így a keresett szám vagy 345, vagy 435. De 435 nem tesz eleget az (1) és (2) követelményeknek, tehát csak 345 lehet a megoldás, és 345 tényleg megfelel.