Feladat: F.2997 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Becsei András ,  Dienes Péter ,  Farkas Péter ,  Gilyén Péter ,  Jurek Zoltán ,  Kovács Baldvin 
Füzet: 1994/november, 440 - 441. oldal  PDF file
Témakör(ök): Pont körüli forgatás, Eltolás, Terület, felszín, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/január: F.2997

Az ábra AB szakaszát párhuzamosan CD-be eltolva, az AB szakasz által súrolt terület ABd, ahol d az e és f párhuzamos egyenesek távolsága. Bizonyítsuk be, hogy AB úgy is elmozgatható, hogy a mozgás közben súrolt terület ABd10000-nél kisebb legyen!
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat állításánál valamivel általánosabban azt fogjuk bizonyítani, hogy az AB szakasz elmozgatásakor súrolt terület tetszőlegesen kicsi lehet. Használjuk az ábra jelöléseit. Forgassuk el az AB szakaszt A körül α szöggel, legyen B elforgatottja B1. A forgatás közben súrolt terület αAB22. Az AB1 egyenes messe az f egyenest a B2 pontban. Toljuk el ezután AB1-et az őt tartalmazó egyenesen úgy, hogy B1 képe B2 legyen. Az így kapott A2B2 szakaszt B2 körül α szöggel az f egyenesbe forgatjuk, a súrolt terület most is αAB22. Ezután az A3B2 szakaszt az f egyenesen CD-be tolhatjuk. Világos, hogy a két eltolás közben súrolt terület zérus. Ezért az AB elmozgatása közben súrolt összes terület αAB2. Legyen most ε>0 tetszőlegesen kicsiny rögzített szám. Nyilvánvaló, hogy αAB2<ε, ha α<εAB2, ez pedig elérhető, mert α akármilyen kicsiny lehet.

Jurek Zoltán (Debrecen, Fazekas M. Gimn., IV. o. t.) és
Kovács Baldvin (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján.